sossssssssss

Câu 18: a) Ta có: \[ 5\sqrt{48} - 2\sqrt{108} + \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} - 2\sqrt{147} \] Phân tích các căn bậc hai thành các thừa số cơ bản: \[ 5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \times 3} = 5 \times 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \] \[ 2\sqrt{108} = 2\sqrt{36 \times 3} = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{42}{14}} = \sqrt{3} \] \[ 2\sqrt{147} = 2\sqrt{49 \times 3} = 2 \times 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 20\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + \sqrt{3} - 14\sqrt{3} \] Cộng trừ các số hạng có chứa căn bậc hai: \[ (20 - 12 + 1 - 14)\sqrt{3} = -5\sqrt{3} \] Vậy: \[ 5\sqrt{48} - 2\sqrt{108} + \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} - 2\sqrt{147} = -5\sqrt{3} \] b) Ta có: \[ \frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} \] Phân tích các căn bậc hai thành các thừa số cơ bản: \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \] \[ \sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} \] \[ \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{(5 - 2\sqrt{3})^2} = 5 - 2\sqrt{3} \] Rationalize các phân số: \[ \frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} \times \frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{6})(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} \] \[ = \frac{9\sqrt{3} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - \sqrt{12}}{9 - 2} = \frac{9\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{7} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3} \] \[ \frac{6}{\sqrt{3} - 1} = \frac{6}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 3(\sqrt{3} + 1) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{3} - 3(\sqrt{3} + 1) - (5 - 2\sqrt{3}) \] Cộng trừ các số hạng: \[ \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3 - 5 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 8 = 0 - 8 = -8 \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = -8 \] Câu 19: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) được cho là: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] Đầu tiên, ta sẽ quy đồng hai phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Bây giờ, ta chia biểu thức này cho \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}\): \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Ta nhận thấy rằng \( x - 1 = (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) \), do đó: \[ P = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( P \) là: \[ P = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tìm giá trị của \( x \) để \( P = \frac{1}{2} \) Ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(\sqrt{x} + 1) \): \[ 4 = \sqrt{x} + 1 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ \sqrt{x} = 3 \] 平方两边： \[ x = 9 \] 因此，当 \( x = 9 \) 时，\( P = \frac{1}{2} \)。 最终答案是： \[ x = 9 \] Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. a) Tính khoảng cách BD từ tòa nhà đến chân tháp: Trong tam giác vuông BCD, ta có: \[ \tan(\widehat{HCB}) = \frac{CD}{BD} \] Thay số vào: \[ \tan(25^\circ) = \frac{35}{BD} \] Tìm BD: \[ BD = \frac{35}{\tan(25^\circ)} \] \[ BD \approx \frac{35}{0.4663} \] \[ BD \approx 75.06 \text{ m} \] Vậy khoảng cách BD từ tòa nhà đến chân tháp là khoảng 75 m. b) Tính chiều cao AB của tháp truyền hình: Trong tam giác vuông ACH, ta có: \[ \tan(\widehat{ACH}) = \frac{AH}{CH} \] Ta biết CH = BD, nên: \[ \tan(40^\circ) = \frac{AH}{75.06} \] Tìm AH: \[ AH = 75.06 \times \tan(40^\circ) \] \[ AH \approx 75.06 \times 0.8391 \] \[ AH \approx 63.01 \text{ m} \] Chiều cao AB của tháp truyền hình là: \[ AB = AH + CD \] \[ AB \approx 63.01 + 35 \] \[ AB \approx 98.01 \text{ m} \] Vậy chiều cao AB của tháp truyền hình là khoảng 98 m. Đáp số: a) Khoảng cách BD từ tòa nhà đến chân tháp là 75 m. b) Chiều cao AB của tháp truyền hình là 98 m. Câu 21: a. Ta có: $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) Do đó, A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. b. Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$ (cùng chắn cung BC) $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) $\widehat{BOC}=\widehat{BDC}$ Ta có: $\widehat{OBC}=\widehat{DBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OC) $\widehat{OBH}=\widehat{DBH}$ Do đó, tam giác OBH và DBH có: - $\widehat{OBH}=\widehat{DBH}$ - BH chung - $\widehat{BOH}=\widehat{BDH}=90^\circ$ Nên tam giác OBH và DBH bằng nhau (cạnh kề 2 góc vuông) Suy ra: OH = DH Mà CD = CO + OD = 2CO Vậy CD = 2OH c. Ta có: $\widehat{AHE}=\widehat{ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) $\widehat{ABE}=\widehat{ADO}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE) Vậy $\widehat{AHE}=\widehat{ADO}$