Tìm a để hàm số liên tục

Để hàm số \( t(x) \) liên tục tại \( x = 2 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( t(2) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( t(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái và bên phải đều bằng \( t(2) \). Trước tiên, ta tính \( t(2) \): \[ t(2) = a \cdot 2 + b - b = 2a \] Tiếp theo, ta tính giới hạn của \( t(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải: \[ \lim_{x \to 2^+} t(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^2 - 4} \] Chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{(x - \sqrt{x + 2})(x + \sqrt{x + 2})}{(x^2 - 4)(x + \sqrt{x + 2})} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - x - 2}{(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{(x + 2)(x + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \frac{2 + 1}{(2 + 2)(2 + \sqrt{2 + 2})} = \frac{3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16} \] Bây giờ, ta tính giới hạn của \( t(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái: \[ \lim_{x \to 2^-} t(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + ax + 3b) \] \[ = 2^2 + 2a + 3b = 4 + 2a + 3b \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2^+} t(x) = \lim_{x \to 2^-} t(x) = t(2) \] \[ \frac{3}{16} = 4 + 2a + 3b = 2a \] Từ đây, ta có hai phương trình: 1. \( 4 + 2a + 3b = 2a \) 2. \( 2a = \frac{3}{16} \) Giải phương trình thứ hai: \[ 2a = \frac{3}{16} \] \[ a = \frac{3}{32} \] Thay \( a = \frac{3}{32} \) vào phương trình thứ nhất: \[ 4 + 2 \left(\frac{3}{32}\right) + 3b = 2 \left(\frac{3}{32}\right) \] \[ 4 + \frac{6}{32} + 3b = \frac{6}{32} \] \[ 4 + \frac{6}{32} + 3b = \frac{6}{32} \] \[ 4 + 3b = 0 \] \[ 3b = -4 \] \[ b = -\frac{4}{3} \] Vậy, giá trị của \( a \) và \( b \) là: \[ a = \frac{3}{32}, \quad b = -\frac{4}{3} \]