giúp mình với cạnh bằng a nhé

a. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Trong lập phương, ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] b. Xác định góc giữa hai vectơ: - Góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$: Ta thấy $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ là hai vectơ song song vì $AC$ và $B'D'$ là hai đường chéo của hai mặt lập phương song song nhau. Do đó góc giữa chúng là 0° hoặc 180°. - Góc giữa $\overrightarrow{A'D}$ và $\overrightarrow{AC'}$: Ta thấy $\overrightarrow{A'D}$ và $\overrightarrow{AC'}$ là hai vectơ vuông góc với nhau vì $A'D$ nằm trên mặt phẳng $(ADD'A')$ và $AC'$ nằm trên mặt phẳng $(ABC'A')$, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau. Do đó góc giữa chúng là 90°. c. Gọi M là trung điểm của $CC'$. Ta cần tính $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{A'C'}$. Trước tiên, ta xác định các vectơ: - $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$ - $\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$ Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \] Ta cũng biết: \[ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CC'} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} \] Bây giờ, ta tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{A'C'} = \left( \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \right) \cdot \left( -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} \right) \] Áp dụng công thức phân phối: \[ = \overrightarrow{AC} \cdot (-\overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot (-\overrightarrow{AC}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AA'} \] Vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AA'}$ vuông góc với nhau, ta có: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA'} = 0 \] Do đó: \[ = -|\overrightarrow{AC}|^2 + 0 + 0 + \frac{1}{2}|\overrightarrow{AA'}|^2 \] Biết rằng $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$ và $|\overrightarrow{AA'}| = a$, ta có: \[ = -(a\sqrt{2})^2 + \frac{1}{2}a^2 = -2a^2 + \frac{1}{2}a^2 = -\frac{3}{2}a^2 \] Vậy: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{A'C'} = -\frac{3}{2}a^2 \]