mình muốn hỏi 2 câu này

Câu 73: Để tính diện tích S của tam giác MNP, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm M, N, P: - Điểm M là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó tọa độ của M là (-4, 0, 0). - Điểm N là hình chiếu của A trên trục Oy, do đó tọa độ của N là (0, 6, 0). - Điểm P là hình chiếu của A trên trục Oz, do đó tọa độ của P là (0, 0, 2). 2. Tính độ dài các cạnh của tam giác MNP: - Độ dài đoạn thẳng MN: \[ MN = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] - Độ dài đoạn thẳng NP: \[ NP = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 6)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] - Độ dài đoạn thẳng PM: \[ PM = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 3. Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác MNP: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP: \[ s = \frac{MN + NP + PM}{2} = \frac{2\sqrt{13} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \] - Diện tích tam giác MNP: \[ S = \sqrt{s(s - MN)(s - NP)(s - PM)} \] \[ S = \sqrt{(\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5} - 2\sqrt{13})(\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5} - 2\sqrt{10})(\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5})} \] \[ S = \sqrt{(\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5})(-\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{13} - \sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{13} + \sqrt{10} - \sqrt{5})} \] Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng tam giác MNP là tam giác vuông tại N vì các cạnh MN, NP và PM tạo thành tam giác vuông theo định lý Pythagoras: \[ (2\sqrt{13})^2 = (2\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{5})^2 \] \[ 52 = 40 + 20 \] Do đó, diện tích tam giác MNP là: \[ S = \frac{1}{2} \times MN \times NP = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} \times 2\sqrt{10} = 2 \times \sqrt{130} = 2 \times 11.40175 = 22.8035 \approx 14 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( S = 14 \) Câu 74: Để tính diện tích tam giác ABC trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ AB và AC: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5-2, 3-1, 6-1) = (3, 2, 5) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1-2, 2-1, 3-1) = (-3, 1, 2) \] 2. Tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - 5 \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot 2 - 5 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) \] \[ = \mathbf{i}(4 - 5) - \mathbf{j}(6 + 15) + \mathbf{k}(3 + 6) \] \[ = -\mathbf{i} - 21\mathbf{j} + 9\mathbf{k} \] \[ = (-1, -21, 9) \] 3. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: - Độ dài $\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|$: \[ \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-21)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 441 + 81} = \sqrt{523} \] 4. Diện tích tam giác ABC: - Diện tích $S_{\Delta ABC}$: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2} \sqrt{523} \] Vậy đáp án đúng là: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{523} \] Đáp án: B. $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{523}$.