đường thẳng f(x)=(x^2+3x+3)/x+2 có đồ thị là đường cong (C) d) [TH] Tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $(d):~x-3y-6=0$ đi qua điểm,$B(-\frac32,\frac32)$

Question

Accepted Answer

Để tìm tiếp tuyến của đường cong $ (C) $ vuông góc với đường thẳng $ (d): x - 3y - 6 = 0 $ và đi qua điểm $ B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $ (d) $:
   Đường thẳng $ (d): x - 3y - 6 = 0 $ có dạng $ y = \frac{1}{3}x - 2 $. Vậy hệ số góc của $ (d) $ là $ m_d = \frac{1}{3} $.

2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến vuông góc với $ (d) $:
   Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của các hệ số góc của chúng bằng $-1$. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến $ m_t $ sẽ là:
   $$
   m_t \cdot m_d = -1 \implies m_t \cdot \frac{1}{3} = -1 \implies m_t = -3
   $$

3. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $:
   Hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} $. Ta tính đạo hàm $ f'(x) $:
   $$
   f'(x) = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2}
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2}
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}
   $$

4. Tìm điểm trên đường cong $ (C) $ sao cho đạo hàm bằng $-3$:
   Ta cần giải phương trình $ f'(x) = -3 $:
   $$
   \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = -3
   $$
   Nhân cả hai vế với $ (x + 2)^2 $:
   $$
   x^2 + 4x + 3 = -3(x + 2)^2
   $$
   $$
   x^2 + 4x + 3 = -3(x^2 + 4x + 4)
   $$
   $$
   x^2 + 4x + 3 = -3x^2 - 12x - 12
   $$
   $$
   4x^2 + 16x + 15 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}
   $$
   $$
   x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 240}}{8}
   $$
   $$
   x = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{8}
   $$
   $$
   x = \frac{-16 \pm 4}{8}
   $$
   $$
   x_1 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}
   $$

5. Kiểm tra điểm $ B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $:
   Điểm $ B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $ nằm trên đường cong $ (C) $ vì:
   $$
   f \left( -\frac{3}{2} \right) = \frac{\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + 3 \left( -\frac{3}{2} \right) + 3}{-\frac{3}{2} + 2} = \frac{\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{12}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}
   $$

6. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $ B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $:
   Phương trình tiếp tuyến có dạng:
   $$
   y - y_1 = m_t (x - x_1)
   $$
   Thay $ m_t = -3 $, $ x_1 = -\frac{3}{2} $, $ y_1 = \frac{3}{2} $:
   $$
   y - \frac{3}{2} = -3 \left( x + \frac{3}{2} \right)
   $$
   $$
   y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{9}{2}
   $$
   $$
   y = -3x - \frac{9}{2} + \frac{3}{2}
   $$
   $$
   y = -3x - 3
   $$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong $ (C) $ vuông góc với đường thẳng $ (d) $ và đi qua điểm $ B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $ là:
$$
y = -3x - 3
$$