đường thẳng f(x)=(x^2+3x+3)/x+2 có đồ thị là đường cong (C)

Để tìm tiếp tuyến của đường cong \( (C) \) vuông góc với đường thẳng \( (d): x - 3y - 6 = 0 \) và đi qua điểm \( B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng \( (d) \): Đường thẳng \( (d): x - 3y - 6 = 0 \) có dạng \( y = \frac{1}{3}x - 2 \). Vậy hệ số góc của \( (d) \) là \( m_d = \frac{1}{3} \). 2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến vuông góc với \( (d) \): Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của các hệ số góc của chúng bằng \(-1\). Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến \( m_t \) sẽ là: \[ m_t \cdot m_d = -1 \implies m_t \cdot \frac{1}{3} = -1 \implies m_t = -3 \] 3. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \). Ta tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] 4. Tìm điểm trên đường cong \( (C) \) sao cho đạo hàm bằng \(-3\): Ta cần giải phương trình \( f'(x) = -3 \): \[ \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = -3 \] Nhân cả hai vế với \( (x + 2)^2 \): \[ x^2 + 4x + 3 = -3(x + 2)^2 \] \[ x^2 + 4x + 3 = -3(x^2 + 4x + 4) \] \[ x^2 + 4x + 3 = -3x^2 - 12x - 12 \] \[ 4x^2 + 16x + 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 240}}{8} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{8} \] \[ x = \frac{-16 \pm 4}{8} \] \[ x_1 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \] 5. Kiểm tra điểm \( B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \): Điểm \( B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \) nằm trên đường cong \( (C) \) vì: \[ f \left( -\frac{3}{2} \right) = \frac{\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + 3 \left( -\frac{3}{2} \right) + 3}{-\frac{3}{2} + 2} = \frac{\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{12}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \] 6. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \( B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \): Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y - y_1 = m_t (x - x_1) \] Thay \( m_t = -3 \), \( x_1 = -\frac{3}{2} \), \( y_1 = \frac{3}{2} \): \[ y - \frac{3}{2} = -3 \left( x + \frac{3}{2} \right) \] \[ y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{9}{2} \] \[ y = -3x - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} \] \[ y = -3x - 3 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong \( (C) \) vuông góc với đường thẳng \( (d) \) và đi qua điểm \( B \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \) là: \[ y = -3x - 3 \]