Sos giải giúp tui với (32-34)

Câu 32. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - D(0, 3, 0) - A'(0, 0, 4) Từ đó, ta xác định tọa độ của các đỉnh còn lại: - C(1, 3, 0) - B'(1, 0, 4) - D'(0, 3, 4) - C'(1, 3, 4) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD'}$ có đúng hay không. - $\overrightarrow{BB'} = (1 - 1, 0 - 0, 4 - 0) = (0, 0, 4)$ - $\overrightarrow{BC} = (1 - 1, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0)$ - $\overrightarrow{BA} = (0 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$ Do đó: \[ \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = (0, 0, 4) + (0, 3, 0) + (-1, 0, 0) = (-1, 3, 4) \] Ta cũng tính $\overrightarrow{BD'}$: \[ \overrightarrow{BD'} = (0 - 1, 3 - 0, 4 - 0) = (-1, 3, 4) \] Như vậy, $\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD'}$. Phát biểu này đúng. b) Ta cần kiểm tra xem $3\overrightarrow{u} = (\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$ và $|\overrightarrow{u}| = \frac{\sqrt{26}}{3}$ có đúng hay không. - $\overrightarrow{AA'} = (0 - 0, 0 - 0, 4 - 0) = (0, 0, 4)$ - $\overrightarrow{AB} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)$ - $\overrightarrow{AD} = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0)$ Do đó: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (0, 0, 4) + (1, 0, 0) + (0, 3, 0) = (1, 3, 4) \] Suy ra: \[ 3\overrightarrow{u} = (1, 3, 4) \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left(\frac{1}{3}, 1, \frac{4}{3}\right) \] Ta tính độ dài của $\overrightarrow{u}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + 1 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3} \] Phát biểu này đúng. c) Ta cần kiểm tra xem tọa độ của B' có đúng là (1, 0, 4) hay không. Theo xác định ban đầu, B'(1, 0, 4). Phát biểu này đúng. d) Ta cần kiểm tra xem tọa độ của G (trọng tâm của tam giác ABC) có đúng là $\left(\frac{2}{3}, 2, 0\right)$ hay không. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] \[ G = \left(\frac{0 + 1 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 1, 0\right) \] Phát biểu này sai vì tọa độ của G là $\left(\frac{2}{3}, 1, 0\right)$, không phải $\left(\frac{2}{3}, 2, 0\right)$. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) sai. Câu 33. a) Tọa độ của $\overrightarrow u$ là $(2;3;-5)$, do đó mệnh đề này sai. b) $\overrightarrow v = \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 2\overrightarrow k$, do đó mệnh đề này đúng. c) Để kiểm tra hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ có cùng phương hay không, ta xét tỉ số của các thành phần tương ứng: \[ \frac{2}{1} = 2, \quad \frac{3}{4} = \frac{3}{4}, \quad \frac{-5}{2} = -\frac{5}{2} \] Tỉ số này không bằng nhau, do đó hai vectơ không cùng phương. Mệnh đề này đúng. d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ được tính bằng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow v|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + (-5) \cdot 2 = 2 + 12 - 10 = 4 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow u| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \] \[ |\overrightarrow v| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \] Do đó: \[ \cos(\theta) = \frac{4}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{798}} \] Vì $\cos(\theta)$ dương, góc giữa hai vectơ là góc nhọn. Mệnh đề này đúng. Đáp số: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 34. Trước tiên, ta xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu trong hệ trục Oxyz đã cho. - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất: - Cách điểm xuất phát 2 km về phía nam: tọa độ x = -2 - Cách điểm xuất phát 1 km về phía đông: tọa độ y = 1 - Cách mặt đất 0,5 km: tọa độ z = 0,5 Vậy tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là A(-2, 1, 0,5). - Chiếc khinh khí cầu thứ hai: - Cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc: tọa độ x = 1 - Cách điểm xuất phát 1,5 km về phía tây: tọa độ y = -1,5 - Cách mặt đất 0,8 km: tọa độ z = 0,8 Vậy tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là B(1, -1,5, 0,8). Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1,5 - 1)^2 + (0,8 - 0,5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-1,5 - 1)^2 + (0,8 - 0,5)^2} \] \[ AB = \sqrt{3^2 + (-2,5)^2 + 0,3^2} \] \[ AB = \sqrt{9 + 6,25 + 0,09} \] \[ AB = \sqrt{15,34} \] \[ AB \approx 3,92 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là khoảng 3,92 km.