mình muốn hỏi câu 65

Câu 65: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 1; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; -2; 1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 6 - 2 + 3 = 7 \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] 4. Tìm góc $\theta$ từ giá trị của cosin: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 60^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $60^\circ$. Đáp án đúng là C. $60^\circ$. Câu 66: Để giải quyết bài toán trong không gian với hệ tọa độ, chúng ta cần biết thêm thông tin về bài toán cụ thể. Tuy nhiên, tôi sẽ đưa ra một ví dụ về cách giải quyết một bài toán liên quan đến tọa độ trong không gian. Ví dụ: Cho hai điểm \( A(1, 2, 3) \) và \( B(4, 5, 6) \). Tìm tọa độ của điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( AB \) sao cho \( AM = 2MB \). Bước 1: Xác định tỉ số \( k \) Theo đề bài, \( AM = 2MB \). Điều này có nghĩa là điểm \( M \) chia đoạn thẳng \( AB \) theo tỉ số \( k = 2 \). Bước 2: Áp dụng công thức tọa độ của điểm chia đoạn thẳng Công thức tọa độ của điểm \( M \) chia đoạn thẳng \( AB \) theo tỉ số \( k \) là: \[ M \left( \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}, \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}, \frac{z_1 + kz_2}{1 + k} \right) \] Trong đó, \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \). Áp dụng vào bài toán: - \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \), \( z_1 = 3 \) - \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 5 \), \( z_2 = 6 \) - \( k = 2 \) Bước 3: Tính toán tọa độ của điểm \( M \) \[ M \left( \frac{1 + 2 \cdot 4}{1 + 2}, \frac{2 + 2 \cdot 5}{1 + 2}, \frac{3 + 2 \cdot 6}{1 + 2} \right) \] \[ M \left( \frac{1 + 8}{3}, \frac{2 + 10}{3}, \frac{3 + 12}{3} \right) \] \[ M \left( \frac{9}{3}, \frac{12}{3}, \frac{15}{3} \right) \] \[ M \left( 3, 4, 5 \right) \] Kết luận: Tọa độ của điểm \( M \) là \( (3, 4, 5) \). Đáp số: \( M(3, 4, 5) \).