aaaaaaaaaaaaaa

Câu 1. Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có các nghiệm là: \[ x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định phương án đúng: A. $x = \alpha + k2\pi; x = -\alpha + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$ - Đây không phải là phương án đúng vì phương trình $\sin x = \sin \alpha$ không có nghiệm dạng $x = -\alpha + k2\pi$. B. $x = \alpha + k2\pi; x = \pi - \alpha + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$ - Đây là phương án đúng vì phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có các nghiệm là $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. C. $x = \alpha + k\pi; x = \pi - \alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}.$ - Đây không phải là phương án đúng vì phương trình $\sin x = \sin \alpha$ không có nghiệm dạng $x = \alpha + k\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k\pi$. D. $x = \alpha + k\pi; x = -\alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}.$ - Đây không phải là phương án đúng vì phương trình $\sin x = \sin \alpha$ không có nghiệm dạng $x = \alpha + k\pi$ hoặc $x = -\alpha + k\pi$. Vậy phương án đúng là: \[ \boxed{B. \quad x = \alpha + k2\pi; x = \pi - \alpha + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.} \] Câu 2. Phương trình $\cos x = 0$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng 0. Ta biết rằng $\cos x = 0$ tại các điểm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: A. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$. Câu 3. Để xác định xem mỗi dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. Dãy số: $1, -2, -4, -6, -8$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-2 - 1 = -3$ $-4 - (-2) = -2$ $-6 - (-4) = -2$ $-8 - (-6) = -2$ Như vậy, hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-3$ và $-2$), nên dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Dãy số: $1, -3, -6, -9, -12$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-6 - (-3) = -3$ $-9 - (-6) = -3$ $-12 - (-9) = -3$ Như vậy, hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-4$ và $-3$), nên dãy số này không phải là cấp số cộng. C. Dãy số: $1, -3, -7, -11, -15$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-7 - (-3) = -4$ $-11 - (-7) = -4$ $-15 - (-11) = -4$ Như vậy, hiệu giữa các số liên tiếp đều bằng nhau ($-4$), nên dãy số này là cấp số cộng. D. Dãy số: $1, -3, -5, -7, -9$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-5 - (-3) = -2$ $-7 - (-5) = -2$ $-9 - (-7) = -2$ Như vậy, hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-4$ và $-2$), nên dãy số này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Dãy số C là cấp số cộng. Câu 4. Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta kiểm tra xem thương giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. Nếu thương này luôn bằng một hằng số thì dãy số đó là cấp số nhân. Ta sẽ kiểm tra từng dãy số: A. 1; 2; 3; 4; 5 - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{3}{2} = 1.5$, $\frac{4}{3} \approx 1.33$, $\frac{5}{4} = 1.25$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. B. 1; 3; 6; 9; 12 - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{3}{1} = 3$, $\frac{6}{3} = 2$, $\frac{9}{6} = 1.5$, $\frac{12}{9} \approx 1.33$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. C. 2; 4; 6; 8; 100 - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{6}{4} = 1.5$, $\frac{8}{6} \approx 1.33$, $\frac{100}{8} = 12.5$ - Các thương không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. D. 2; 4; 8; 16; 32 - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{8}{4} = 2$, $\frac{16}{8} = 2$, $\frac{32}{16} = 2$ - Các thương đều bằng 2, do đó dãy số này là cấp số nhân. Vậy dãy số là cấp số nhân là: D. 2; 4; 8; 16; 32. Câu 5. Để xác định khẳng định nào sai trong các khẳng định đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{1}{x - a} = +\infty$: - Khi $x$ tiến đến $a$ từ bên phải ($x \rightarrow a^+$), $x - a$ sẽ tiến đến 0 từ phía dương. Do đó, $\frac{1}{x - a}$ sẽ tiến đến $+\infty$. Khẳng định này đúng. B. $\lim_{x \rightarrow \infty} x^k = +\infty$: - Nếu $k > 0$, khi $x$ tiến đến $+\infty$, $x^k$ cũng sẽ tiến đến $+\infty$. Tuy nhiên, nếu $k < 0$, $x^k$ sẽ tiến đến 0. Vì vậy, khẳng định này không đúng trong mọi trường hợp. C. $\lim_{x \rightarrow a^-} \frac{1}{x - a} = -\infty$: - Khi $x$ tiến đến $a$ từ bên trái ($x \rightarrow a^-$), $x - a$ sẽ tiến đến 0 từ phía âm. Do đó, $\frac{1}{x - a}$ sẽ tiến đến $-\infty$. Khẳng định này đúng. D. $\lim_{x \rightarrow +\infty} x^k = +\infty$: - Nếu $k > 0$, khi $x$ tiến đến $+\infty$, $x^k$ cũng sẽ tiến đến $+\infty$. Tuy nhiên, nếu $k < 0$, $x^k$ sẽ tiến đến 0. Vì vậy, khẳng định này không đúng trong mọi trường hợp. Như vậy, khẳng định B và D đều không đúng trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, trong bốn lựa chọn, chỉ có một khẳng định sai. Do đó, khẳng định sai là: B. $\lim_{x \rightarrow \infty} x^k = +\infty$ vì nó không đúng khi $k < 0$. Đáp án: B. Câu 6. Để xác định khoảng liên tục của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 5x + 6} \), ta cần tìm các điểm mà tại đó mẫu số bằng không vì những điểm này sẽ làm cho hàm số không xác định. Bước 1: Tìm các nghiệm của mẫu số \( x^2 + 5x + 6 \). Ta giải phương trình: \[ x^2 + 5x + 6 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x + 2)(x + 3) = 0 \] Do đó, các nghiệm là: \[ x = -2 \quad \text{và} \quad x = -3 \] Bước 2: Xác định các khoảng liên tục của hàm số. Hàm số \( f(x) \) sẽ không xác định tại \( x = -2 \) và \( x = -3 \). Do đó, hàm số liên tục trên các khoảng giữa các điểm này. Các khoảng liên tục của hàm số là: \[ (-\infty, -3), \quad (-3, -2), \quad (-2, +\infty) \] Bước 3: So sánh với các đáp án đã cho. - Đáp án A: \( (-3, 2) \) - Đáp án B: \( (-3, +\infty) \) - Đáp án C: \( (-\infty, 2) \) - Đáp án D: \( (-2, +\infty) \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án D là đúng vì nó bao gồm khoảng liên tục từ \( -2 \) đến \( +\infty \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (-2, +\infty) \) Câu 7. Để tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung điểm của mỗi khoảng cân nặng: - Trung điểm của [40,5; 45,5) là $\frac{40,5 + 45,5}{2} = 43$ - Trung điểm của [45,5; 50,5) là $\frac{45,5 + 50,5}{2} = 48$ - Trung điểm của [50,5; 55,5) là $\frac{50,5 + 55,5}{2} = 53$ - Trung điểm của [55,5; 60,5) là $\frac{55,5 + 60,5}{2} = 58$ - Trung điểm của [60,5; 65,5) là $\frac{60,5 + 65,5}{2} = 63$ - Trung điểm của [65,5; 70,5) là $\frac{65,5 + 70,5}{2} = 68$ 2. Nhân trung điểm của mỗi khoảng với số lượng học sinh tương ứng: - $43 \times 10 = 430$ - $48 \times 7 = 336$ - $53 \times 16 = 848$ - $58 \times 4 = 232$ - $63 \times 2 = 126$ - $68 \times 3 = 204$ 3. Tính tổng số học sinh: - Tổng số học sinh là $10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$ 4. Tính tổng trọng lượng của tất cả học sinh: - Tổng trọng lượng là $430 + 336 + 848 + 232 + 126 + 204 = 2176$ 5. Tính cân nặng trung bình: - Cân nặng trung bình là $\frac{2176}{42} \approx 51,8095$ 6. Làm tròn đến hàng phần trăm: - Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có $51,81$ Vậy cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là $\boxed{51,81}$. Câu 8. Để tìm mốt của bảng số liệu ghép nhóm, ta cần xác định khoảng có tần số lớn nhất và sử dụng công thức tính mốt cho dữ liệu nhóm. Bước 1: Xác định khoảng có tần số lớn nhất: - [125;127): 3 bạn - [127;129): 7 bạn - [129;131): 15 bạn - [131;133): 10 bạn - [133;135): 5 bạn Khoảng có tần số lớn nhất là [129;131) với 15 bạn. Bước 2: Áp dụng công thức tính mốt cho dữ liệu nhóm: \[ M_O = x_0 + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h \] Trong đó: - \( x_0 \) là cận dưới của khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_1 \) là tần số của khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_0 \) là tần số của khoảng liền trước khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_2 \) là tần số của khoảng liền sau khoảng có tần số lớn nhất. - \( h \) là khoảng cách giữa hai cận dưới liên tiếp. Áp dụng vào bài toán: - \( x_0 = 129 \) - \( f_1 = 15 \) - \( f_0 = 7 \) - \( f_2 = 10 \) - \( h = 2 \) Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ M_O = 129 + \left( \frac{15 - 7}{2 \times 15 - 7 - 10} \right) \times 2 \] \[ M_O = 129 + \left( \frac{8}{30 - 17} \right) \times 2 \] \[ M_O = 129 + \left( \frac{8}{13} \right) \times 2 \] \[ M_O = 129 + \frac{16}{13} \] \[ M_O = 129 + 1,23 \] \[ M_O = 130,23 \] Vậy mốt của bảng số liệu ghép nhóm trên gần với giá trị \( M_O = 130,23 \). Đáp án đúng là: D. \( M_O = 130,23 \).