Tính số đo các góc của tam giác. 2. a)Tìm số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức $P=\sin^2A+\cos B+\cos^2C$ đạt giá trị lớn,nhất

Question

Accepted Answer

Để tìm số đo các góc của tam giác $ABC$ sao cho biểu thức $P = \sin^2 A + \cos B + \cos^2 C$ đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện xác định
Vì $A$, $B$, $C$ là các góc của tam giác nên:
- $A, B, C > 0$
- $A + B + C = 180^\circ$

Bước 2: Phân tích biểu thức
Biểu thức cần tối ưu là:
$$ P = \sin^2 A + \cos B + \cos^2 C $$

Bước 3: Sử dụng các bất đẳng thức lượng giác
1. Bất đẳng thức cho $\sin^2 A$:
   $$
   \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \leq 1
   $$
   Giá trị lớn nhất của $\sin^2 A$ là 1 khi $\cos A = 0$, tức là $A = 90^\circ$.

2. Bất đẳng thức cho $\cos B$:
   $$
   \cos B \leq 1
   $$
   Giá trị lớn nhất của $\cos B$ là 1 khi $B = 0^\circ$.

3. Bất đẳng thức cho $\cos^2 C$:
   $$
   \cos^2 C \leq 1
   $$
   Giá trị lớn nhất của $\cos^2 C$ là 1 khi $\cos C = \pm 1$, tức là $C = 0^\circ$ hoặc $C = 180^\circ$.

Bước 4: Xét các trường hợp
- Nếu $A = 90^\circ$, thì $B + C = 90^\circ$.
- Để $\cos B$ và $\cos^2 C$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần $B = 0^\circ$ và $C = 90^\circ$.

Tuy nhiên, $B = 0^\circ$ không thỏa mãn điều kiện của một tam giác (vì góc của tam giác phải lớn hơn 0).

Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất khả thi
- Chọn $A = 90^\circ$, $B = 45^\circ$, $C = 45^\circ$.
- Khi đó:
  $$
  \sin^2 A = 1, \quad \cos B = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos^2 C = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}
  $$
- Tính $P$:
  $$
  P = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
  $$

Kết luận
Giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$, đạt được khi tam giác $ABC$ có các góc $A = 90^\circ$, $B = 45^\circ$, $C = 45^\circ$.