Giải phương trình. a. Giải phương trình: $4\sin^2\frac x2-\sqrt3\cos2x=1+2\cos^2(x-\frac{3\pi}4).$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $4\sin^2\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cos2x = 1 + 2\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi các biểu thức lượng giác:
   - Sử dụng công thức $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$ để biến đổi $4\sin^2\frac{x}{2}$:
     $$
     4\sin^2\frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} = 2(1 - \cos x) = 2 - 2\cos x
     $$
   - Biểu thức $\cos2x$ giữ nguyên.
   - Biến đổi $\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$ bằng công thức $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$:
     $$
     2\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)}{2} = 1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)
     $$

2. Thay các biểu thức đã biến đổi vào phương trình ban đầu:
   $$
   2 - 2\cos x - \sqrt{3}\cos2x = 1 + 1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)
   $$
   $$
   2 - 2\cos x - \sqrt{3}\cos2x = 2 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)
   $$

3. Rút gọn phương trình:
   $$
   -2\cos x - \sqrt{3}\cos2x = \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)
   $$

4. Sử dụng công thức cộng góc để biến đổi $\cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)$:
   $$
   \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos2x \cos\frac{3\pi}{2} + \sin2x \sin\frac{3\pi}{2}
   $$
   $$
   \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos2x \cdot 0 + \sin2x \cdot (-1) = -\sin2x
   $$

5. Thay $\cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)$ bằng $-\sin2x$ vào phương trình:
   $$
   -2\cos x - \sqrt{3}\cos2x = -\sin2x
   $$

6. Nhân cả hai vế với $-1$:
   $$
   2\cos x + \sqrt{3}\cos2x = \sin2x
   $$

7. Biến đổi $\sin2x$ thành $2\sin x \cos x$:
   $$
   2\cos x + \sqrt{3}\cos2x = 2\sin x \cos x
   $$

8. Chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$):
   $$
   2 + \sqrt{3}\frac{\cos2x}{\cos x} = 2\sin x
   $$
   $$
   2 + \sqrt{3}(2\cos x - 1) = 2\sin x
   $$
   $$
   2 + 2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 2\sin x
   $$
   $$
   2\sqrt{3}\cos x + 2 - \sqrt{3} = 2\sin x
   $$

9. Giải phương trình cuối cùng:
   $$
   2\sqrt{3}\cos x + 2 - \sqrt{3} = 2\sin x
   $$
   $$
   2\sqrt{3}\cos x + 2 - \sqrt{3} = 2\sin x
   $$

10. Kiểm tra các giá trị đặc biệt của $x$:
    - $x = 0$:
      $$
      2\sqrt{3}\cos 0 + 2 - \sqrt{3} = 2\sin 0
      $$
      $$
      2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 0
      $$
      $$
      \sqrt{3} + 2 = 0 \quad (\text{sai})
      $$
    - $x = \frac{\pi}{2}$:
      $$
      2\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{2} + 2 - \sqrt{3} = 2\sin \frac{\pi}{2}
      $$
      $$
      0 + 2 - \sqrt{3} = 2
      $$
      $$
      2 - \sqrt{3} = 2 \quad (\text{sai})
      $$

Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng $[0, 2\pi]$.

Đáp án: Phương trình không có nghiệm trong khoảng $[0, 2\pi]$.