Tính giới hạn.

Để tính giới hạn \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + 4x} - \sqrt[3]{8 + 12x} + 1 - \cos x}{\sqrt{3x^2 + 4} - 2}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng ban đầu của giới hạn Khi \(x \to 0\): - \(\sqrt{4 + 4x} \to \sqrt{4} = 2\) - \(\sqrt[3]{8 + 12x} \to \sqrt[3]{8} = 2\) - \(1 - \cos x \to 1 - 1 = 0\) - \(\sqrt{3x^2 + 4} \to \sqrt{4} = 2\) Do đó, tử số và mẫu số đều tiến về 0, tức là giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\). Bước 2: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa Nhân cả tử số và mẫu số với lượng liên hợp của mẫu số: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\left( \sqrt{4 + 4x} - \sqrt[3]{8 + 12x} + 1 - \cos x \right) \left( \sqrt{3x^2 + 4} + 2 \right)}{\left( \sqrt{3x^2 + 4} - 2 \right) \left( \sqrt{3x^2 + 4} + 2 \right)} \] Mẫu số trở thành: \[ (\sqrt{3x^2 + 4})^2 - 2^2 = 3x^2 + 4 - 4 = 3x^2 \] Bước 3: Đơn giản hóa tử số Tử số trở thành: \[ \left( \sqrt{4 + 4x} - \sqrt[3]{8 + 12x} + 1 - \cos x \right) \left( \sqrt{3x^2 + 4} + 2 \right) \] Khi \(x \to 0\), \(\sqrt{3x^2 + 4} + 2 \to 2 + 2 = 4\). Do đó, tử số gần đúng là: \[ 4 \left( \sqrt{4 + 4x} - \sqrt[3]{8 + 12x} + 1 - \cos x \right) \] Bước 4: Áp dụng công thức Taylor hoặc khai triển lũy thừa Sử dụng các khai triển lũy thừa: - \(\sqrt{4 + 4x} \approx 2 + x\) - \(\sqrt[3]{8 + 12x} \approx 2 + 2x\) - \(1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}\) Do đó, tử số gần đúng là: \[ 4 \left( (2 + x) - (2 + 2x) + \frac{x^2}{2} \right) = 4 \left( -x + \frac{x^2}{2} \right) = -4x + 2x^2 \] Bước 5: Kết hợp tử số và mẫu số Giới hạn trở thành: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-4x + 2x^2}{3x^2} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \(x^2\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{-4/x + 2}{3} = \frac{-4/0 + 2}{3} = \frac{-4 + 2}{3} = \frac{-2}{3} \] Kết luận Giá trị của giới hạn là: \[ \boxed{-\frac{2}{3}} \]