endnjđnbsbsb

Câu 18: Để giải quyết câu hỏi này, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song. - Phát biểu này đúng vì hai vectơ bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài, do đó giá của chúng sẽ trùng nhau hoặc song song. B. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng. - Phát biểu này sai vì hai vectơ có thể có độ dài khác nhau nhưng vẫn có thể cùng hướng. Ví dụ, vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} = 2\vec{a}$ có cùng hướng nhưng độ dài khác nhau. C. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng hướng. - Phát biểu này sai vì hai vectơ không bằng nhau có thể có cùng hướng nhưng độ dài khác nhau. Ví dụ, vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} = 2\vec{a}$ không bằng nhau nhưng cùng hướng. D. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau. - Phát biểu này sai vì hai vectơ không bằng nhau có thể có cùng độ dài nhưng hướng khác nhau. Ví dụ, vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} = -\vec{a}$ không bằng nhau nhưng có cùng độ dài. Vậy phát biểu đúng là: A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song. Câu 19: Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định xem đẳng thức nào luôn đúng với mọi điểm A, B, C bất kỳ. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ Nhưng ở đây, ta có $\overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$. Do đó, đẳng thức này không đúng. B. $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, ta có: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$ Nhưng ở đây, ta có $\overrightarrow{AC}$, không phải $\overrightarrow{CA}$. Do đó, đẳng thức này không đúng. C. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ Nhưng ở đây, ta có $\overrightarrow{BC}$, không phải $\overrightarrow{CB}$. Do đó, đẳng thức này không đúng. D. $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Đẳng thức này đúng theo quy tắc trừ vectơ. Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Câu 20: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tọa độ của $4\overrightarrow{a}$: \[ 4\overrightarrow{a} = 4 \cdot (1; 2) = (4 \cdot 1; 4 \cdot 2) = (4; 8) \] Bước 2: Tính tọa độ của $\overrightarrow{c}$ bằng cách cộng tọa độ của $4\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (4; 8) + (-3; -4) = (4 + (-3); 8 + (-4)) = (1; 4) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{c}$ là $(1; 4)$. Đáp án đúng là: A. $(1; 4)$. Câu 21: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \( 2 : 1 \). Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \] \[ \overrightarrow{GM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AM} \] Từ đó suy ra: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GM} \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AG} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AM} \] \[ \overrightarrow{AM} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AG} \] \[ \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AG} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AG} \] Như vậy, ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{AG} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{AG}$. Câu 22: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (3; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (4; -6)$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] Trong đó: - \(a_x\) và \(a_y\) là các thành phần của vectơ \(\overrightarrow{a}\), - \(b_x\) và \(b_y\) là các thành phần của vectơ \(\overrightarrow{b}\). Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot (-6) \] Tính từng phần: \[ 3 \cdot 4 = 12 \] \[ (-2) \cdot (-6) = 12 \] Cộng lại: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 12 + 12 = 24 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là 24. Đáp án đúng là: C. 24. Câu 23: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (-3; 1)$ và $\overrightarrow{b} = (4; -8)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \times 4 + 1 \times (-8) = -12 - 8 = -20 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{-20}{\sqrt{10} \times 4\sqrt{5}} = \frac{-20}{4 \times \sqrt{50}} = \frac{-20}{4 \times 5\sqrt{2}} = \frac{-20}{20\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc giữa hai vectơ là $135^\circ$. Vậy đáp án đúng là: D. $135^\circ$. Câu 5: a) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{BC}$ là: \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 2, -2 - 4) = (0, -6) \] b) Để tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] Trong trường hợp này, C là trọng tâm của tam giác ABD, nên: \[ C = \left( \frac{-4 + 2 + x_D}{3}, \frac{1 + 4 + y_D}{3} \right) \] Biết rằng tọa độ của C là (2, -2), ta có: \[ 2 = \frac{-4 + 2 + x_D}{3} \] \[ -2 = \frac{1 + 4 + y_D}{3} \] Giải hai phương trình này: \[ 2 = \frac{-2 + x_D}{3} \implies 6 = -2 + x_D \implies x_D = 8 \] \[ -2 = \frac{5 + y_D}{3} \implies -6 = 5 + y_D \implies y_D = -11 \] Vậy tọa độ của điểm D là: \[ D(8, -11) \]