Câu 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;2;3), B(2;1;1), C (1;2;3), M ∈ Ox. Tìm điểm M sao cho biểu thức T = |MA – 2MB + 3MC| đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các tọa độ của M là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho biểu thức $T = |MA - 2MB + 3MC|$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm $M$:
   Vì $M$ nằm trên trục $Ox$, nên tọa độ của $M$ có dạng $M(a;0;0)$.

2. Tính các vectơ $MA$, $MB$, và $MC$:
   - Vectơ $MA = A - M = (0 - a; 2 - 0; 3 - 0) = (-a; 2; 3)$
   - Vectơ $MB = B - M = (2 - a; 1 - 0; 1 - 0) = (2 - a; 1; 1)$
   - Vectơ $MC = C - M = (1 - a; 2 - 0; 3 - 0) = (1 - a; 2; 3)$

3. Tính các độ dài $|MA|$, $|MB|$, và $|MC|$:
   - $|MA| = \sqrt{(-a)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{a^2 + 4 + 9} = \sqrt{a^2 + 13}$
   - $|MB| = \sqrt{(2 - a)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{(2 - a)^2 + 1 + 1} = \sqrt{(2 - a)^2 + 2}$
   - $|MC| = \sqrt{(1 - a)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{(1 - a)^2 + 4 + 9} = \sqrt{(1 - a)^2 + 13}$

4. Biểu thức $T = |MA - 2MB + 3MC|$:
   Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Để làm điều này, ta sẽ tìm giá trị của $a$ sao cho biểu thức $MA - 2MB + 3MC$ nhỏ nhất.

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$:
   Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$. Tuy nhiên, việc tính đạo hàm trực tiếp của biểu thức này khá phức tạp. Thay vào đó, ta có thể sử dụng phương pháp số học hoặc đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất.

6. Kiểm tra các giá trị đặc biệt:
   Ta thử các giá trị đặc biệt của $a$ để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$:
   - Nếu $a = 0$:
     $|MA| = \sqrt{0^2 + 13} = \sqrt{13}$
     $|MB| = \sqrt{(2 - 0)^2 + 2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$
     $|MC| = \sqrt{(1 - 0)^2 + 13} = \sqrt{1 + 13} = \sqrt{14}$
     $T = |\sqrt{13} - 2\sqrt{6} + 3\sqrt{14}|$

- Nếu $a = 1$:
     $|MA| = \sqrt{1^2 + 13} = \sqrt{14}$
     $|MB| = \sqrt{(2 - 1)^2 + 2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$
     $|MC| = \sqrt{(1 - 1)^2 + 13} = \sqrt{0 + 13} = \sqrt{13}$
     $T = |\sqrt{14} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{13}|$

- Nếu $a = 2$:
     $|MA| = \sqrt{2^2 + 13} = \sqrt{17}$
     $|MB| = \sqrt{(2 - 2)^2 + 2} = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$
     $|MC| = \sqrt{(1 - 2)^2 + 13} = \sqrt{1 + 13} = \sqrt{14}$
     $T = |\sqrt{17} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{14}|$

Qua kiểm tra các giá trị đặc biệt, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ xảy ra khi $a = 1$.

7. Tổng các tọa độ của điểm $M$:
   Điểm $M$ có tọa độ $M(1;0;0)$. Tổng các tọa độ của $M$ là:
   $1 + 0 + 0 = 1$

Vậy tổng các tọa độ của điểm $M$ là $\boxed{1}$.