Giúp e vs ạ

Câu 117. a) Rút gọn biểu thức $\frac{x-3}{x-1}.\frac{x^2-3x+2}{x^2+x-12}$ với $(x\ne-4;x\ne1;x\ne3).$ Đầu tiên, ta phân tích các đa thức ở tử và mẫu: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] \[ x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{x-3}{x-1} . \frac{(x-1)(x-2)}{(x+4)(x-3)} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ = \frac{x-3}{x-1} . \frac{(x-1)(x-2)}{(x+4)(x-3)} = \frac{x-2}{x+4} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ \frac{x-2}{x+4} \] b) Rút gọn biểu thức $\frac{2-x}{x^2-1}.\frac{x^3+1}{x-2}$ với $(x\ne-1;x\ne1;x\ne2).$ Phân tích các đa thức ở tử và mẫu: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{2-x}{(x-1)(x+1)} . \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x-2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ = \frac{-(x-2)}{(x-1)(x+1)} . \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x-2} = \frac{-(x^2-x+1)}{x-1} = \frac{-x^2 + x - 1}{x-1} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ \frac{-x^2 + x - 1}{x-1} \] c) Rút gọn biểu thức $\frac{x^2}{x-1}.\frac{5-x}{x+1}+\frac{x^2}{x-1}.\frac{2x-6}{x+1}$ với $(x\ne-1;x\ne1).$ Nhóm các phân thức có cùng mẫu số: \[ \frac{x^2}{x-1} \left( \frac{5-x}{x+1} + \frac{2x-6}{x+1} \right) \] Rút gọn biểu thức trong ngoặc: \[ \frac{5-x + 2x - 6}{x+1} = \frac{x-1}{x+1} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{x^2}{x-1} . \frac{x-1}{x+1} = \frac{x^2}{x+1} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ \frac{x^2}{x+1} \] d) Rút gọn biểu thức $\frac{x^2-3x+2}{x^2-x-2}.\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$ với $(x\ne-1;x\ne1;x\ne2).$ Phân tích các đa thức ở tử và mẫu: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+1)} . \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+1)} . \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x-3}{x-1} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ \frac{x-3}{x-1} \] Câu 118. a) $\frac{3x+9}{x^2-4}:\frac{x+3}{x-2}$ Điều kiện: $x \neq \pm 2$, $x \neq -3$ $\frac{3(x+3)}{(x-2)(x+2)} \times \frac{x-2}{x+3} = \frac{3}{x+2}$ b) $\frac{x^2+10xy}{x^2+2xy+4y^2}:\frac{x+2y}{x^3-8y^3}$ Điều kiện: $x \neq -2y$, $x \neq 2y$ $\frac{x(x+10y)}{(x+2y)^2} \times \frac{(x-2y)(x^2+4xy+4y^2)}{x+2y} = \frac{x(x+10y)(x-2y)}{(x+2y)^3}$ c) $\frac{x+1}{x-3}:\frac{x+2}{x+3}:\frac{x+3}{x+1}$ Điều kiện: $x \neq \pm 3$, $x \neq -2$ $\frac{x+1}{x-3} \times \frac{x+3}{x+2} \times \frac{x+1}{x+3} = \frac{(x+1)^2}{(x-3)(x+2)}$ d) $\frac{4x^2+1}{x}:(1-2x)$ Điều kiện: $x \neq 0$, $x \neq \frac{1}{2}$ $\frac{4x^2+1}{x} \times \frac{1}{1-2x} = \frac{4x^2+1}{x(1-2x)}$ Câu 119. a) Rút gọn biểu thức \( A \): Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( x \neq 5 \). Ta có: \[ A = \frac{3x-2}{x} - \frac{x-7}{x-5} - \frac{10}{x^2-5x} \] Phân tích mẫu số chung: \[ x^2 - 5x = x(x-5) \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{3x-2}{x} = \frac{(3x-2)(x-5)}{x(x-5)} = \frac{3x^2 - 15x - 2x + 10}{x(x-5)} = \frac{3x^2 - 17x + 10}{x(x-5)} \] \[ \frac{x-7}{x-5} = \frac{x(x-7)}{x(x-5)} = \frac{x^2 - 7x}{x(x-5)} \] \[ \frac{10}{x^2-5x} = \frac{10}{x(x-5)} \] Gộp lại: \[ A = \frac{3x^2 - 17x + 10 - (x^2 - 7x) - 10}{x(x-5)} = \frac{3x^2 - 17x + 10 - x^2 + 7x - 10}{x(x-5)} = \frac{2x^2 - 10x}{x(x-5)} = \frac{2x(x-5)}{x(x-5)} = 2 \] Vậy \( A = 2 \). b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( B = A \cdot \frac{x+1}{x-1} \) có giá trị nguyên: Thay \( A = 2 \) vào biểu thức \( B \): \[ B = 2 \cdot \frac{x+1}{x-1} = \frac{2(x+1)}{x-1} \] Để \( B \) có giá trị nguyên, phân số \( \frac{2(x+1)}{x-1} \) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x-1 \) là ước của \( 2(x+1) \). Ta xét các trường hợp: 1. \( x-1 = 1 \Rightarrow x = 2 \) 2. \( x-1 = -1 \Rightarrow x = 0 \) (loại vì \( x \neq 0 \)) 3. \( x-1 = 2 \Rightarrow x = 3 \) 4. \( x-1 = -2 \Rightarrow x = -1 \) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( B \) có giá trị nguyên là \( x = 2, 3, -1 \). Đáp số: \( x = 2, 3, -1 \). Câu 120. a) Rút gọn biểu thức \( P \): Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2x}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} + \frac{3-11x}{9-x^2} \] Chú ý rằng \( 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( P \) dưới dạng: \[ P = \frac{2x}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} + \frac{3-11x}{(3-x)(3+x)} \] Tiếp theo, ta quy đồng mẫu số chung của ba phân thức này là \( (x+3)(x-3) \): \[ P = \frac{2x(x-3) + (x+1)(x+3) + (3-11x)}{(x+3)(x-3)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép nhân và cộng ở tử số: \[ 2x(x-3) = 2x^2 - 6x \] \[ (x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3 \] \[ 3 - 11x \] Do đó, tử số của biểu thức \( P \) là: \[ 2x^2 - 6x + x^2 + 4x + 3 + 3 - 11x = 3x^2 - 13x + 6 \] Vậy biểu thức \( P \) rút gọn là: \[ P = \frac{3x^2 - 13x + 6}{(x+3)(x-3)} \] b) Tính giá trị của \( P \) khi \( |x-2| = 1 \): Ta có hai trường hợp: 1. \( x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \) 2. \( x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \) Tuy nhiên, \( x \neq 3 \) nên ta chỉ xét \( x = 1 \). Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{3(1)^2 - 13(1) + 6}{(1+3)(1-3)} = \frac{3 - 13 + 6}{4 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} \] c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên dương: Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{3x^2 - 13x + 6}{(x+3)(x-3)} \] Để \( P \) có giá trị nguyên dương, tử số \( 3x^2 - 13x + 6 \) phải chia hết cho mẫu số \( (x+3)(x-3) \) và kết quả phải là số nguyên dương. Ta thử các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( x \neq \pm 3 \): - \( x = 0 \): \[ P = \frac{3(0)^2 - 13(0) + 6}{(0+3)(0-3)} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3} \] (không thỏa mãn) - \( x = 1 \): \[ P = \frac{3(1)^2 - 13(1) + 6}{(1+3)(1-3)} = \frac{3 - 13 + 6}{4 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} \] (không thỏa mãn) - \( x = 2 \): \[ P = \frac{3(2)^2 - 13(2) + 6}{(2+3)(2-3)} = \frac{12 - 26 + 6}{5 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-5} = \frac{8}{5} \] (không thỏa mãn) - \( x = 4 \): \[ P = \frac{3(4)^2 - 13(4) + 6}{(4+3)(4-3)} = \frac{48 - 52 + 6}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7} \] (không thỏa mãn) - \( x = 5 \): \[ P = \frac{3(5)^2 - 13(5) + 6}{(5+3)(5-3)} = \frac{75 - 65 + 6}{8 \cdot 2} = \frac{16}{16} = 1 \] (thỏa mãn) Vậy giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên dương là \( x = 5 \). Đáp số: a) \( P = \frac{3x^2 - 13x + 6}{(x+3)(x-3)} \) b) \( P = \frac{1}{2} \) khi \( x = 1 \) c) \( x = 5 \) Câu 121. a) Ta có: \[ A = \frac{2x}{x+3} \cdot \frac{3x}{x-1} + \frac{2x}{x+3} \cdot \frac{3-2x}{x-1} \] Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ A = \frac{2x}{x+3} \left( \frac{3x}{x-1} + \frac{3-2x}{x-1} \right) \] Tính tổng trong ngoặc: \[ \frac{3x}{x-1} + \frac{3-2x}{x-1} = \frac{3x + (3 - 2x)}{x-1} = \frac{x + 3}{x-1} \] Do đó: \[ A = \frac{2x}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1} \] Rút gọn phân thức: \[ A = \frac{2x}{x-1} \] b) Ta có: \[ P = A : B = \frac{2x}{x-1} : \frac{3x}{2x-2} \] Chia hai phân thức: \[ P = \frac{2x}{x-1} \cdot \frac{2x-2}{3x} \] Rút gọn phân thức: \[ P = \frac{2x}{x-1} \cdot \frac{2(x-1)}{3x} = \frac{2x \cdot 2(x-1)}{(x-1) \cdot 3x} = \frac{4x(x-1)}{3x(x-1)} = \frac{4}{3} \] Vậy: \[ P = \frac{4}{3} \] Câu 122. a) Điều kiện xác định của biểu thức \( A \): - \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \) - \( 4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) - \( x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \) - \( 4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) Vậy điều kiện xác định của \( x \) là: \( x \neq -2, x \neq 2, x \neq 0 \). b) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{4-x^2} + \frac{1}{x-2} \right) \cdot \frac{x^2-4x+4}{4x} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \) và \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \). Do đó: \[ A = \left( \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{(2-x)(2+x)} + \frac{1}{x-2} \right) \cdot \frac{(x-2)^2}{4x} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{(2-x)(2+x)} + \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - 2x + (x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x - 2 - 2x + x + 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{0}{(x+2)(x-2)} = 0 \] Như vậy: \[ A = 0 \cdot \frac{(x-2)^2}{4x} = 0 \] c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên: Biểu thức \( A \) đã được rút gọn thành 0, do đó \( A \) luôn luôn có giá trị nguyên là 0, không phụ thuộc vào giá trị của \( x \) (trừ các giá trị bị loại do điều kiện xác định). Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên là tất cả các số nguyên ngoại trừ \( x = -2, x = 2, x = 0 \). Đáp số: \( x \neq -2, x \neq 2, x \neq 0 \). Câu 123. a) Rút gọn biểu thức \( A \): Ta có: \[ A = \frac{x+2}{2y} \cdot \frac{x-1}{2x+1} \cdot \frac{2y}{x+2} \] Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân phân số: \[ A = \left( \frac{x+2}{2y} \cdot \frac{2y}{x+2} \right) \cdot \frac{x-1}{2x+1} \] Nhận thấy rằng \(\frac{x+2}{2y}\) và \(\frac{2y}{x+2}\) là các phân số nghịch đảo của nhau, do đó chúng sẽ triệt tiêu nhau: \[ \frac{x+2}{2y} \cdot \frac{2y}{x+2} = 1 \] Vậy: \[ A = 1 \cdot \frac{x-1}{2x+1} = \frac{x-1}{2x+1} \] b) Rút gọn biểu thức \( M = A \cdot B \): Ta đã có: \[ A = \frac{x-1}{2x+1} \] \[ B = \frac{4x^2 + 4x + 1}{2x - 2} \] Biểu thức \( M \) là: \[ M = A \cdot B = \frac{x-1}{2x+1} \cdot \frac{4x^2 + 4x + 1}{2x - 2} \] Nhận thấy rằng \( 4x^2 + 4x + 1 \) là một hằng đẳng thức: \[ 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 \] Do đó: \[ B = \frac{(2x + 1)^2}{2(x - 1)} \] Thay vào biểu thức \( M \): \[ M = \frac{x-1}{2x+1} \cdot \frac{(2x + 1)^2}{2(x - 1)} \] Nhận thấy rằng \((x - 1)\) ở tử số của \( A \) và mẫu số của \( B \) sẽ triệt tiêu nhau: \[ M = \frac{1}{2x+1} \cdot \frac{(2x + 1)^2}{2} \] Phân tích tiếp: \[ M = \frac{(2x + 1)^2}{2(2x + 1)} \] Nhận thấy rằng \((2x + 1)\) ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu nhau: \[ M = \frac{2x + 1}{2} \] Vậy, biểu thức \( M \) đã được rút gọn là: \[ M = \frac{2x + 1}{2} \] Câu 124. a) Rút gọn biểu thức $E$ bằng cách sử dụng quy tắc dấu ngoặc: \[ E = \left( \frac{2x-1}{x+1} - \frac{3x^2}{x-1} \right) - \left( \frac{x-2}{x+1} - \frac{3}{x-1} \right) \] Áp dụng quy tắc dấu ngoặc: \[ E = \frac{2x-1}{x+1} - \frac{3x^2}{x-1} - \frac{x-2}{x+1} + \frac{3}{x-1} \] Nhóm các phân thức có cùng mẫu số: \[ E = \left( \frac{2x-1}{x+1} - \frac{x-2}{x+1} \right) + \left( \frac{3}{x-1} - \frac{3x^2}{x-1} \right) \] Rút gọn từng nhóm: \[ E = \frac{(2x-1) - (x-2)}{x+1} + \frac{3 - 3x^2}{x-1} \] \[ E = \frac{2x - 1 - x + 2}{x+1} + \frac{3 - 3x^2}{x-1} \] \[ E = \frac{x + 1}{x+1} + \frac{3 - 3x^2}{x-1} \] \[ E = 1 + \frac{3 - 3x^2}{x-1} \] b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $E$ có giá trị là 2: \[ E = 2 \] Thay $E = 2$ vào biểu thức đã rút gọn: \[ 1 + \frac{3 - 3x^2}{x-1} = 2 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ \frac{3 - 3x^2}{x-1} = 1 \] Nhân cả hai vế với $(x-1)$: \[ 3 - 3x^2 = x - 1 \] Di chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 3 - 3x^2 - x + 1 = 0 \] \[ -3x^2 - x + 4 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng giải phương trình: \[ 3x^2 + x - 4 = 0 \] Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 3x^2 + x - 4 = (3x - 4)(x + 1) = 0 \] Tìm nghiệm của phương trình: \[ 3x - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = \frac{4}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Do $x \neq \pm 1$, ta loại $x = -1$. Vậy giá trị của $x$ là: \[ x = \frac{4}{3} \] Đáp số: $x = \frac{4}{3}$