Cho tam giác $ABC$ có $AB

Question

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác $BAC$ tại $N$ và cắt tia $AB$ tại $E$, cắt $AC$ tại $F.$ CMR: $AE=\frac{AB+BC}{2}$

khóttttt · Accepted Answer

Ta có $AN$ là phân giác $\widehat{BAC} o AN$ là phân giác $\widehat{EAF}$

Mà $MN\perp AN o AN\perp EF$

$ o\Delta AEF$ có đường phân giác đồng thời là đường cao

$ o \Delta AEF$ cân tại $A$

$ o AE=AF$

Kẻ $BD//AC$

$ o \widehat{BDE}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{BED}$

$ o \Delta BDE$ cân tại $B o BE=DB$

Xét $\Delta MBD, \Delta MCF$ có:

$\widehat{BMD}=\widehat{CMF}$

$MB=MC$ vì $M$ là trung điểm $BC$

$\widehat{MBD}=\widehat{MCF}$ vì $BD//AC$

$ o \Delta MDB=\Delta MFC(g.c.g)$

$ o BD=CF$

$ o BE=CF$

Ta có:

$AE=AF$

$ o 2AE=AE+AF=(AB+BE)+(AC-CF)=AB+AC+(BE-CF)=AB+AC$ vì $BE=CF$

$ o AE=\dfrac{AB+AC}{2}$

Timi · Answer

Để chứng minh $AE = \frac{AB + BC}{2}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác $ABC$ và các điểm liên quan:

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, do đó $MB = MC$.
   - Đường thẳng $MN$ vuông góc với tia phân giác $BAC$ tại $N$.
   - Đường thẳng $MN$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $AC$ tại $F$.

2. Sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác:

- Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $EFC$.
   - Do đó, $E$ và $F$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ tương ứng.

3. Chứng minh $AE = \frac{AB + BC}{2}$:

- Vì $E$ là trung điểm của $AB$, ta có $AE = \frac{AB}{2}$.
   - Do $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $MB = \frac{BC}{2}$.
   - Từ tính chất của đường trung bình trong tam giác $EFC$, ta có $AE = MB + \frac{AB}{2}$.

4. Kết hợp các kết quả:

- Thay $MB = \frac{BC}{2}$ vào phương trình trên, ta có:
     $$
     AE = \frac{BC}{2} + \frac{AB}{2} = \frac{AB + BC}{2}
     $$

Như vậy, ta đã chứng minh được $AE = \frac{AB + BC}{2}$.