giúp vs mn

Câu 2. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C': - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (a, 0, 0) - Điểm C có tọa độ (a/2, a√3/2, 0) - Điểm A' có tọa độ (0, 0, a) - Điểm B' có tọa độ (a, 0, a) - Điểm C' có tọa độ (a/2, a√3/2, a) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: a) Trọng tâm của tam giác ABC là điểm $G(0; \frac{a\sqrt{3}}{3}; \frac{a}{3}).$ Trọng tâm của tam giác ABC là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ G = \left( \frac{0 + a + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{3a/2}{3}, \frac{a\sqrt{3}/2}{3}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0 \right) \] Như vậy, khẳng định này là sai vì tọa độ trọng tâm thực tế là $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0 \right)$. b) $\overrightarrow{AC} = (a, a\sqrt{3}, -a).$ Tọa độ của $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AC} = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0) \] Như vậy, khẳng định này là sai vì tọa độ thực tế của $\overrightarrow{AC}$ là $(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$. c) $\overrightarrow{BC} = (2a, 0, a).$ Tọa độ của $\overrightarrow{BC}$ là: \[ \overrightarrow{BC} = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0) \] Như vậy, khẳng định này là sai vì tọa độ thực tế của $\overrightarrow{BC}$ là $(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$. d) Góc $(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{BC})$ (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng $78,46^\circ.$ Ta tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BC}|} \] \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left( \frac{a}{2} \right) \left( -\frac{a}{2} \right) + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a \] \[ \cos(\theta) = \frac{\frac{a^2}{2}}{a \cdot a} = \frac{1}{2} \] \[ \theta = \cos^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ \] Như vậy, khẳng định này là sai vì góc thực tế là $60^\circ$. Kết luận: - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 3. Để xác định tính đúng, sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Thời gian trung bình sử dụng mạng xã hội của Hiếu là 2,5 (giờ) Ta tính thời gian trung bình sử dụng mạng xã hội của Hiếu: \[ \text{Trung bình} = \frac{(0,5 \times 2) + (1,5 \times 8) + (2,5 \times 10) + (3,5 \times 8) + (4,5 \times 2)}{2 + 8 + 10 + 8 + 2} \] \[ = \frac{(1) + (12) + (25) + (28) + (9)}{30} \] \[ = \frac{75}{30} = 2,5 \text{ (giờ)} \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Thời gian trung bình sử dụng mạng xã hội của Minh là 2,5 (giờ) Ta tính thời gian trung bình sử dụng mạng xã hội của Minh: \[ \text{Trung bình} = \frac{(0,5 \times 1) + (1,5 \times 9) + (2,5 \times 10) + (3,5 \times 9) + (4,5 \times 1)}{1 + 9 + 10 + 9 + 1} \] \[ = \frac{(0,5) + (13,5) + (25) + (31,5) + (4,5)}{30} \] \[ = \frac{75}{30} = 2,5 \text{ (giờ)} \] Vậy mệnh đề này là đúng. c) Khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội của Hiếu là khoảng 1,5556 Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần xác định Q1 và Q3. - Tổng số lượng dữ liệu của Hiếu là 30. - Q1 nằm ở vị trí $\frac{30}{4} = 7,5$, tức là giữa giá trị thứ 7 và 8. - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 30}{4} = 22,5$, tức là giữa giá trị thứ 22 và 23. Dựa vào bảng phân bố tần số: \[ Q1 = 1,5 \quad (\text{vì giá trị thứ 7 và 8 đều thuộc khoảng [1; 2)}) \] \[ Q3 = 3,5 \quad (\text{vì giá trị thứ 22 và 23 đều thuộc khoảng [3; 4)}) \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 3,5 - 1,5 = 2 \] Vậy mệnh đề này là sai vì khoảng tứ phân vị là 2, không phải 1,5556. d) Thời gian sử dụng mạng xã hội của Hiếu có mức độ phân tán cao hơn của Minh Ta tính phương sai cho cả hai bạn: Phương sai của Hiếu: \[ \sigma^2_{Hiếu} = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ = \frac{(2 \times (0,5 - 2,5)^2) + (8 \times (1,5 - 2,5)^2) + (10 \times (2,5 - 2,5)^2) + (8 \times (3,5 - 2,5)^2) + (2 \times (4,5 - 2,5)^2)}{30} \] \[ = \frac{(2 \times 4) + (8 \times 1) + (10 \times 0) + (8 \times 1) + (2 \times 4)}{30} \] \[ = \frac{8 + 8 + 0 + 8 + 8}{30} = \frac{32}{30} \approx 1,0667 \] Phương sai của Minh: \[ \sigma^2_{Minh} = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ = \frac{(1 \times (0,5 - 2,5)^2) + (9 \times (1,5 - 2,5)^2) + (10 \times (2,5 - 2,5)^2) + (9 \times (3,5 - 2,5)^2) + (1 \times (4,5 - 2,5)^2)}{30} \] \[ = \frac{(1 \times 4) + (9 \times 1) + (10 \times 0) + (9 \times 1) + (1 \times 4)}{30} \] \[ = \frac{4 + 9 + 0 + 9 + 4}{30} = \frac{26}{30} \approx 0,8667 \] Vì phương sai của Hiếu lớn hơn phương sai của Minh, nên mức độ phân tán của Hiếu cao hơn Minh. Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 4. a) Khoảng biến thiên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. - Thời gian chạy của Hoa từ [23,7; 24,2). - Thời gian chạy của Mai từ [23,7; 24,1). Khoảng biến thiên của Hoa là 24,2 - 23,7 = 0,5 giây. Khoảng biến thiên của Mai là 24,1 - 23,7 = 0,4 giây. Mệnh đề này sai vì khoảng biến thiên không giống nhau. b) Thành tích trung bình của Hoa đạt dưới 23,9 giây. - Tính trung bình cộng của Hoa: \begin{align} \text{Trung bình} &= \frac{(23,75 \times 11) + (23,85 \times 15) + (23,95 \times 7) + (24,05 \times 0) + (24,15 \times 5)}{11 + 15 + 7 + 0 + 5} \\ &= \frac{261,25 + 357,75 + 167,65 + 0 + 120,75}{38} \\ &= \frac{907,4}{38} \\ &\approx 23,88 \text{ giây} \end{align} Thành tích trung bình của Hoa đạt trên 23,9 giây. Mệnh đề này sai. c) Nếu so sánh theo số trung bình thì thành tích của Hoa tốt hơn của Mai. - Tính trung bình cộng của Mai: \begin{align} \text{Trung bình} &= \frac{(23,75 \times 28) + (23,85 \times 18) + (23,95 \times 4) + (24,05 \times 0) + (24,15 \times 0)}{28 + 18 + 4 + 0 + 0} \\ &= \frac{665 + 429,3 + 95,8 + 0 + 0}{50} \\ &= \frac{1190,1}{50} \\ &= 23,802 \text{ giây} \end{align} Thành tích trung bình của Mai là 23,802 giây, thấp hơn thành tích trung bình của Hoa (23,88 giây). Mệnh đề này đúng. d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì Mai có thành tích ổn định hơn Hoa. - Độ lệch chuẩn của Hoa: \begin{align} \sigma_{Hoa} &= \sqrt{\frac{(23,75 - 23,88)^2 \times 11 + (23,85 - 23,88)^2 \times 15 + (23,95 - 23,88)^2 \times 7 + (24,05 - 23,88)^2 \times 0 + (24,15 - 23,88)^2 \times 5}{38}} \\ &= \sqrt{\frac{0,13^2 \times 11 + (-0,03)^2 \times 15 + 0,07^2 \times 7 + 0 + 0,27^2 \times 5}{38}} \\ &= \sqrt{\frac{0,0169 \times 11 + 0,0009 \times 15 + 0,0049 \times 7 + 0 + 0,0729 \times 5}{38}} \\ &= \sqrt{\frac{0,1859 + 0,0135 + 0,0343 + 0 + 0,3645}{38}} \\ &= \sqrt{\frac{0,5982}{38}} \\ &\approx 0,126 \text{ giây} \end{align} - Độ lệch chuẩn của Mai: \begin{align} \sigma_{Mai} &= \sqrt{\frac{(23,75 - 23,802)^2 \times 28 + (23,85 - 23,802)^2 \times 18 + (23,95 - 23,802)^2 \times 4 + (24,05 - 23,802)^2 \times 0 + (24,15 - 23,802)^2 \times 0}{50}} \\ &= \sqrt{\frac{(-0,052)^2 \times 28 + 0,048^2 \times 18 + 0,148^2 \times 4 + 0 + 0}{50}} \\ &= \sqrt{\frac{0,002704 \times 28 + 0,002304 \times 18 + 0,021904 \times 4 + 0 + 0}{50}} \\ &= \sqrt{\frac{0,075712 + 0,041472 + 0,087616 + 0 + 0}{50}} \\ &= \sqrt{\frac{0,2048}{50}} \\ &\approx 0,063 \text{ giây} \end{align} Độ lệch chuẩn của Mai nhỏ hơn độ lệch chuẩn của Hoa, do đó thành tích của Mai ổn định hơn. Mệnh đề này đúng. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng