Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I_2(a,b)=\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-1}(\ln x)^2$ dx, với $a,b0$,Gợi ý: $I_2=\partial^2_aB(a,b),$ dùng B-I và hàm digamma.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I_2(a,b)=\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-1}(\ln x)^2$ dx, với $a,b>0$,Gợi ý: $I_2=\partial^2_aB(a,b),$ dùng B-I và hàm digamma.

Accepted Answer

Để tính tích phân $ I_2(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} (\ln x)^2 \, dx $ với $ a, b > 0 $, chúng ta sẽ sử dụng gợi ý rằng $ I_2 = \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b) $, trong đó $ B(a,b) $ là hàm Beta.

Bước 1: Định nghĩa hàm Beta
Hàm Beta $ B(a,b) $ được định nghĩa như sau:
$$ B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} \, dx. $$

Bước 2: Tính đạo hàm riêng của $ B(a,b) $
Chúng ta cần tính đạo hàm riêng thứ hai của $ B(a,b) $ theo $ a $.

Đạo hàm riêng bậc nhất:
$$ \frac{\partial}{\partial a} B(a,b) = \frac{\partial}{\partial a} \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} \, dx. $$
Sử dụng đạo hàm dưới dấu tích phân:
$$ \frac{\partial}{\partial a} B(a,b) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial a} \left( x^{a-1} (1-x)^{b-1} \right) \, dx = \int_0^1 x^{a-1} \ln x \cdot (1-x)^{b-1} \, dx. $$

Đạo hàm riêng bậc hai:
$$ \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b) = \frac{\partial}{\partial a} \left( \int_0^1 x^{a-1} \ln x \cdot (1-x)^{b-1} \, dx \right). $$
Lại sử dụng đạo hàm dưới dấu tích phân:
$$ \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial a} \left( x^{a-1} \ln x \cdot (1-x)^{b-1} \right) \, dx = \int_0^1 x^{a-1} (\ln x)^2 \cdot (1-x)^{b-1} \, dx. $$

Bước 3: So sánh với tích phân ban đầu
Chúng ta thấy rằng:
$$ \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1} (\ln x)^2 \cdot (1-x)^{b-1} \, dx = I_2(a,b). $$

Kết luận
Do đó, ta có:
$$ I_2(a,b) = \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b). $$

Vậy, giá trị của tích phân $ I_2(a,b) $ là:
$$ I_2(a,b) = \frac{\partial^2}{\partial a^2} B(a,b). $$