Phần 1. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn Câu. Cho .Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ​ B. ​ C. D. Câu 2 .Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ​ B. C. ​ D. Câu 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 4 Cho...

Câu 2 Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn A, B, C, D, chúng ta cần biết cụ thể nội dung của mỗi mệnh đề. Tuy nhiên, vì câu hỏi không cung cấp chi tiết về các mệnh đề, tôi sẽ giả định rằng chúng ta cần kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề dựa trên kiến thức toán học lớp 11. Giả sử các mệnh đề như sau: A. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ B. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ C. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ D. $\sqrt{x^2} = x$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ - Đây là một định lý cơ bản trong lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $x$. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ - Đây cũng là một định lý cơ bản trong lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $x$ (trừ khi $\cos x = 0$). Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ - Đây là một tính chất của logarit, luôn đúng với mọi giá trị dương của $x$, $y$ và $a > 0$, $a \neq 1$. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\sqrt{x^2} = x$ - Mệnh đề này không luôn đúng. Ví dụ, nếu $x = -1$, thì $\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$. Do đó, mệnh đề này sai. Tóm lại, các mệnh đề đúng là A, B và C. Đáp án: A, B, C. Câu 3. Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn A, B, C, D, chúng ta cần biết cụ thể nội dung của mỗi mệnh đề. Tuy nhiên, vì chưa có thông tin chi tiết về các mệnh đề này, tôi sẽ giả định rằng chúng liên quan đến các kiến thức cơ bản của lớp 11 như đại số, hình học, hoặc lý thuyết xác suất. Dưới đây là cách tiếp cận để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề: 1. Kiểm tra điều kiện xác định: Đảm bảo rằng tất cả các biến trong mệnh đề đều thỏa mãn điều kiện xác định (ví dụ: không chia cho 0, căn bậc hai của số âm, v.v.). 2. Áp dụng các công thức và định lý: Sử dụng các công thức và định lý đã học để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề. 3. Kiểm tra các trường hợp đặc biệt: Kiểm tra các trường hợp đặc biệt (ví dụ: x = 0, x = 1, x = -1) để đảm bảo mệnh đề đúng trong mọi trường hợp. 4. Lập luận logic: Sử dụng logic để chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề. Ví dụ, nếu các mệnh đề liên quan đến đại số, chúng ta có thể làm như sau: - Mệnh đề A: "Phương trình \(x^2 + 2x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất." - Ta có: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0\) - Nghiệm duy nhất là \(x = -1\). Vậy mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B: "Hàm số \(y = x^2 - 4x + 4\) có giá trị nhỏ nhất là -4." - Ta có: \(y = (x - 2)^2\) - Giá trị nhỏ nhất của \(y\) là 0 khi \(x = 2\). Vậy mệnh đề B sai. - Mệnh đề C: "Phương trình \(x^2 - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt." - Ta có: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0\) - Nghiệm là \(x = 2\) và \(x = -2\). Vậy mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D: "Hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\) có giá trị lớn nhất là 4." - Ta có: \(y' = 3x^2 - 3\) - Đặt \(y' = 0\) ta có \(3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = -1\) - Kiểm tra giá trị của \(y\) tại các điểm cực trị: - \(y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\) - \(y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 2 = 4\) - Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \(x = -1\). Mệnh đề D đúng. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng các mệnh đề đúng là C và D. Đáp án: C và D. Câu 4 Công sai của một cấp số cộng là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy số đó. Ta tính công sai bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất. Số hạng thứ nhất là 5, số hạng thứ hai là 9. Công sai = 9 - 5 = 4. Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là 4. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 5. Để xác định độ dài của các nhóm của mẫu số liệu, chúng ta cần xem xét khoảng cách giữa các giá trị liên tiếp trong bảng thống kê. Bảng thống kê cho thấy các nhóm điểm như sau: - 0 - 9 - 10 - 19 - 20 - 29 - 30 - 39 - 40 - 49 - 50 - 59 - 60 - 69 - 70 - 79 - 80 - 89 - 90 - 100 Mỗi nhóm bao gồm các giá trị từ một số bắt đầu đến một số kết thúc. Độ dài của mỗi nhóm là khoảng cách giữa hai giá trị này cộng thêm 1 (vì cả hai giá trị bắt đầu và kết thúc đều thuộc nhóm đó). Chúng ta lấy ví dụ với nhóm đầu tiên: - Nhóm 0 - 9 có độ dài là 9 - 0 + 1 = 10. Tương tự, chúng ta kiểm tra các nhóm khác: - Nhóm 10 - 19 có độ dài là 19 - 10 + 1 = 10. - Nhóm 20 - 29 có độ dài là 29 - 20 + 1 = 10. - Nhóm 30 - 39 có độ dài là 39 - 30 + 1 = 10. - Nhóm 40 - 49 có độ dài là 49 - 40 + 1 = 10. - Nhóm 50 - 59 có độ dài là 59 - 50 + 1 = 10. - Nhóm 60 - 69 có độ dài là 69 - 60 + 1 = 10. - Nhóm 70 - 79 có độ dài là 79 - 70 + 1 = 10. - Nhóm 80 - 89 có độ dài là 89 - 80 + 1 = 10. - Nhóm 90 - 100 có độ dài là 100 - 90 + 1 = 11. Như vậy, độ dài của các nhóm là 10, ngoại trừ nhóm cuối cùng là 11. Do đó, độ dài của các nhóm của mẫu số liệu trên là 10. Đáp án đúng là: C. 10. Câu 6 Để xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định nhóm có tần số xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Dưới đây là các bước để xác định nhóm chứa mốt: 1. Xác định tần số của mỗi nhóm: - Nhóm 0-10 phút: 5 học sinh - Nhóm 10-20 phút: 12 học sinh - Nhóm 20-30 phút: 15 học sinh - Nhóm 30-40 phút: 8 học sinh - Nhóm 40-50 phút: 3 học sinh 2. So sánh tần số của các nhóm: - Nhóm 0-10 phút: 5 học sinh - Nhóm 10-20 phút: 12 học sinh - Nhóm 20-30 phút: 15 học sinh - Nhóm 30-40 phút: 8 học sinh - Nhóm 40-50 phút: 3 học sinh Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 20-30 phút với 15 học sinh. Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là nhóm 20-30 phút. Đáp án đúng là: C. 20-30 phút Câu 7. Trước tiên, ta xét các trường hợp có thể xảy ra khi đường thẳng \( d \) song song với mặt phẳng \( (P) \): 1. Đường thẳng \( d \) song song với mặt phẳng \( (P) \): - Điều này có nghĩa là \( d \) không cắt \( (P) \) ở bất kỳ điểm nào. 2. Mặt phẳng \( (P) \) chứa đường thẳng \( d' \) và cắt mặt phẳng \( (Q) \) theo giao tuyến \( d'' \): - Khi đó, \( d' \) nằm trong \( (P) \) và \( d'' \) là giao tuyến giữa \( (P) \) và \( (Q) \). 3. Xét vị trí của \( d \) và \( d' \): - Vì \( d \) song song với \( (P) \), nên \( d \) không cắt \( (P) \). Do đó, \( d \) cũng không cắt \( d' \) (vì \( d' \) nằm trong \( (P) \)). - Mặt khác, \( d \) và \( d' \) không trùng nhau vì nếu trùng nhau thì \( d \) sẽ nằm trong \( (P) \), trái với giả thiết \( d \) song song với \( (P) \). 4. Xét vị trí của \( d \) và \( d'' \): - \( d'' \) là giao tuyến giữa \( (P) \) và \( (Q) \), do đó \( d'' \) nằm trong cả hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \). - Vì \( d \) song song với \( (P) \), nên \( d \) không cắt \( d'' \) (vì \( d'' \) nằm trong \( (P) \)). - Mặt khác, \( d \) và \( d'' \) không trùng nhau vì nếu trùng nhau thì \( d \) sẽ nằm trong \( (P) \), trái với giả thiết \( d \) song song với \( (P) \). 5. Kết luận: - \( d \) không cắt \( d' \) và \( d'' \), và không trùng với \( d' \) và \( d'' \). - Do đó, \( d \) và \( d' \) là hai đường thẳng chéo nhau. Vậy đáp án đúng là: C. Chéo nhau. Câu 8 Trong không gian, nếu hai mặt phẳng (MP) song song thì chúng không có bất kỳ giao điểm nào chung. Lập luận từng bước: 1. Hai mặt phẳng song song có nghĩa là chúng không bao giờ cắt nhau ở bất kỳ điểm nào. 2. Do đó, số giao điểm chung của hai mặt phẳng song song là 0. Vậy đáp án đúng là: B. 0. Câu 9 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đường thẳng (ĐT) và mặt phẳng (MP) trong không gian. 1. Xác định điều kiện: - Ta có hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). - Cần tìm số mặt phẳng chứa \(d_1\) và song song với \(d_2\). 2. Lập luận từng bước: - Theo định lý về đường thẳng và mặt phẳng, nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác, thì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đầu tiên và song song với đường thẳng thứ hai. - Cụ thể, vì \(d_1\) và \(d_2\) là hai đường thẳng song song, nên có vô số mặt phẳng chứa \(d_1\) và song song với \(d_2\). 3. Kết luận: - Do đó, có vô số mặt phẳng chứa \(d_1\) và song song với \(d_2\). Vậy đáp án đúng là: C. Vô số MP. Câu 10 Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng (ĐT) và mặt phẳng (MP), chúng ta cần biết thêm thông tin về vị trí của ĐT và MP trong không gian. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp. Giả sử ĐT và MP là hai đối tượng trong không gian. Có ba trường hợp có thể xảy ra: 1. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Nếu ĐT nằm hoàn toàn trong MP, thì ĐT và MP chia sẻ cùng một không gian và ĐT nằm trong MP. 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu ĐT không cắt MP và không nằm trong MP, thì ĐT và MP là song song. 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng: Nếu ĐT cắt MP tại một điểm, thì ĐT và MP cắt nhau tại điểm đó. Dựa vào các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ xác định vị trí tương đối giữa ĐT và MP. Lập luận từng bước: - Nếu ĐT nằm trong MP, thì ĐT và MP chia sẻ cùng một không gian và ĐT nằm trong MP. - Nếu ĐT song song với MP, thì ĐT và MP không cắt nhau và không chia sẻ cùng một không gian. - Nếu ĐT cắt MP, thì ĐT và MP cắt nhau tại một điểm. Do đó, để xác định chính xác vị trí tương đối giữa ĐT và MP, chúng ta cần biết thêm thông tin về vị trí của ĐT và MP trong không gian. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể xác định vị trí tương đối giữa ĐT và MP. Đáp án: A. ĐT nằm trong MP. B. ĐT song song với MP. C. ĐT cắt MP. Vì không có thông tin cụ thể về vị trí của ĐT và MP, chúng ta không thể xác định chính xác vị trí tương đối giữa ĐT và MP. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể xác định vị trí tương đối giữa ĐT và MP là một trong ba trường hợp trên. Câu 11 Trước tiên, ta cần hiểu rõ về vị trí tương đối giữa đường thẳng (ĐT) và mặt phẳng (MP) trong hình chóp có đáy là hình bình hành. 1. Xác định các thành phần: - Hình chóp có đáy là hình bình hành, nghĩa là đáy của chóp là một hình bình hành. - Đường thẳng (ĐT) có thể nằm trong mặt phẳng đáy hoặc không. - Mặt phẳng (MP) có thể là mặt phẳng chứa đáy hoặc bất kỳ mặt phẳng nào khác trong không gian. 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Nếu đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng, thì chúng là đồng phẳng. - Đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng nhưng không cắt mặt phẳng, thì chúng là song song. - Đường thẳng cắt mặt phẳng: Nếu đường thẳng cắt qua mặt phẳng tại một điểm, thì chúng là cắt nhau. 3. Lập luận từng bước: - Giả sử đường thẳng (ĐT) nằm trong mặt phẳng đáy của hình chóp. Khi đó, ĐT và MP là đồng phẳng. - Nếu đường thẳng (ĐT) không nằm trong mặt phằng đáy nhưng không cắt qua mặt phẳng đáy, thì ĐT và MP là song song. - Nếu đường thẳng (ĐT) cắt qua mặt phẳng đáy tại một điểm, thì ĐT và MP là cắt nhau. Kết luận: - Nếu ĐT nằm trong MP, chúng là đồng phẳng. - Nếu ĐT song song với MP, chúng là song song. - Nếu ĐT cắt qua MP, chúng là cắt nhau. Do đó, tùy thuộc vào vị trí cụ thể của ĐT và MP, chúng có thể là đồng phẳng, song song hoặc cắt nhau. Câu 12 Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ về các mệnh đề đã cho trong câu hỏi. Hình hộp là một khối đa diện có sáu mặt, mỗi mặt là một hình bình hành. Các mệnh đề liên quan đến các tính chất của hình hộp. A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành. - Điều này đúng vì theo định nghĩa, các mặt của hình hộp đều là các hình bình hành. B. Các đỉnh của hình hộp là giao điểm của ba cạnh. - Điều này cũng đúng vì mỗi đỉnh của hình hộp là giao điểm của ba cạnh. C. Các đường chéo của hình hộp là các đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện. - Điều này đúng vì các đường chéo của hình hộp là các đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của hình hộp. D. Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại cùng một điểm. - Điều này sai vì các đường chéo của hình hộp không nhất thiết phải cắt nhau tại cùng một điểm. Chỉ trong trường hợp đặc biệt là hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương thì các đường chéo mới cắt nhau tại cùng một điểm. Vậy mệnh đề sai là: D. Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại cùng một điểm. Câu 13. a) Mẫu số liệu trên là mẫu số liệu ghép nhóm vì dữ liệu được chia thành các nhóm có khoảng giá trị nhất định. b) Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là tổng số khách hàng đã được khảo sát. Ta tính tổng số khách hàng trong tất cả các nhóm: \[ 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 100 \] Vậy cỡ mẫu là 100. c) Tứ phân vị là các giá trị chia dãy số liệu thành bốn phần bằng nhau. Để tìm tứ phân vị, ta cần biết vị trí của chúng trong dãy số liệu đã sắp xếp. Với cỡ mẫu là 100, ta có: - Q1 (tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{100}{4} = 25$. - Q2 (tứ phân vị thứ hai, cũng là trung vị) nằm ở vị trí $\frac{100}{2} = 50$. - Q3 (tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3 \times 100}{4} = 75$. Ta sẽ tìm các giá trị tương ứng: - Q1: Vị trí 25 nằm trong nhóm 15 - 19 triệu đồng, cụ thể là ở khoảng giữa nhóm này. - Q2: Vị trí 50 nằm trong nhóm 20 - 24 triệu đồng, cụ thể là ở khoảng giữa nhóm này. - Q3: Vị trí 75 nằm trong nhóm 25 - 29 triệu đồng, cụ thể là ở khoảng giữa nhóm này. d) Có 25% khách hàng đồng ý với mức giá từ 22 triệu đồng trở lên. Ta tính số khách hàng trong nhóm 25 - 29 triệu đồng và nhóm 30 triệu đồng trở lên: \[ 30 + 10 = 40 \] Số khách hàng này chiếm tỷ lệ: \[ \frac{40}{100} = 0,4 = 40\% \] Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần tìm nhóm có 25% khách hàng đồng ý với mức giá từ 22 triệu đồng trở lên. Nhóm này sẽ là nhóm 25 - 29 triệu đồng và nhóm 30 triệu đồng trở lên, nhưng chỉ cần nhóm 25 - 29 triệu đồng để đạt 25%. Vậy, có 25% khách hàng đồng ý với mức giá từ 22 triệu đồng trở lên, cụ thể là nhóm 25 - 29 triệu đồng. Đáp số: a) Mẫu số liệu ghép nhóm. b) Cỡ mẫu: 100. c) Q1: 15 - 19 triệu đồng, Q2: 20 - 24 triệu đồng, Q3: 25 - 29 triệu đồng. d) Có 25% khách hàng đồng ý với mức giá từ 22 triệu đồng trở lên, cụ thể là nhóm 25 - 29 triệu đồng. Câu 14. a) Giá cước tại có dạng: Ta thấy rằng giá cước tại là tổng của giá cước ban đầu và giá cước thêm cho mỗi km tiếp theo. Do đó, giá cước tại có dạng: \[ f(x) = 10000 + 5000(x - 1) \] \[ f(x) = 10000 + 5000x - 5000 \] \[ f(x) = 5000x + 5000 \] b) Giới hạn: Giới hạn của giá cước khi là: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5000x + 5000) = 5000(1) + 5000 = 10000 \] c) Giới hạn: Giới hạn của giá cước khi là: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 10000 \] d) Hàm số liên tục tại khi: Hàm số liên tục tại khi: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \] \[ 10000 = 10000 = 10000 \] Vậy hàm số liên tục tại khi. Đáp số: a) Giá cước tại có dạng: \( f(x) = 5000x + 5000 \) b) Giới hạn: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 10000 \) c) Giới hạn: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 10000 \) d) Hàm số liên tục tại khi. Câu 15. Trước tiên, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng $(ABD)$ và mặt phẳng $(ACD)$. - Mặt phẳng $(ABD)$ chứa đường thẳng $AD$. - Mặt phẳng $(ACD)$ cũng chứa đường thẳng $AD$. Do đó, giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là đường thẳng $AD$. Tiếp theo, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng $(ABD)$ và mặt phẳng $(BCD)$. - Mặt phẳng $(ABD)$ chứa đường thẳng $BD$. - Mặt phẳng $(BCD)$ cũng chứa đường thẳng $BD$. Do đó, giao tuyến của $(ABD)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $BD$. Cuối cùng, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng $(ACD)$ và mặt phẳng $(BCD)$. - Mặt phẳng $(ACD)$ chứa đường thẳng $CD$. - Mặt phẳng $(BCD)$ cũng chứa đường thẳng $CD$. Do đó, giao tuyến của $(ACD)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $CD$. Bây giờ, ta xét giao tuyến của $(ABD)$ và $(BCD)$ cắt đoạn $AD$. - Giao tuyến của $(ABD)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $BD$. - Đường thẳng $BD$ cắt đoạn $AD$ tại điểm $D$. Vậy giao tuyến của $(ABD)$ và $(BCD)$ cắt đoạn $AD$ tại 1 điểm. Đáp số: 1 điểm. Câu 16. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp có đáy là hình bình hành, đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đáy và song song với đường chéo của đáy sẽ chia đường chéo đó thành hai phần bằng nhau. Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( CD \). Ta có \( MN \) song song với \( AD \) và \( BC \). Do \( P \) là giao điểm của \( MN \) và \( AC \), ta có: - \( M \) là trung điểm của \( AB \) - \( N \) là trung điểm của \( CD \) Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ \frac{AP}{PC} = \frac{AM}{MD} = \frac{1}{1} = 1 \] Vậy giá trị của \( \frac{AP}{PC} \) là 1. Đáp số: \( \frac{AP}{PC} = 1 \) Câu 17. Để giải quyết giới hạn của một biểu thức, chúng ta cần biết cụ thể biểu thức đó là gì. Tuy nhiên, dựa trên yêu cầu của bạn, tôi sẽ giả sử rằng chúng ta đang xét giới hạn của một biểu thức đơn giản như $\lim_{x \to a} f(x)$. Bước 1: Xác định biểu thức và giá trị giới hạn. Giả sử chúng ta cần tính $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Bước 2: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). Trong trường hợp này, biểu thức $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ có nghĩa là $x \neq 2$. Bước 3: Rút gọn biểu thức nếu có thể. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ (với $x \neq 2$). Bước 4: Tính giới hạn. $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$. Vậy giới hạn của biểu thức $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ khi $x$ tiến đến 2 là 4. Đáp số: 4. Câu 18. Để giải quyết giới hạn của một biểu thức, chúng ta cần biết cụ thể biểu thức đó là gì. Tuy nhiên, dựa trên yêu cầu của bạn, tôi sẽ giả sử rằng chúng ta đang xét giới hạn của một biểu thức đơn giản như $\lim_{x \to a} f(x)$. Bước 1: Xác định biểu thức và giá trị giới hạn. Giả sử chúng ta cần tính $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Bước 2: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). Trong trường hợp này, biểu thức $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ có nghĩa là $x \neq 2$. Bước 3: Rút gọn biểu thức nếu có thể. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ (với $x \neq 2$). Bước 4: Tính giới hạn. $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$. Vậy giới hạn của biểu thức $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ khi $x$ tiến đến 2 là 4. Đáp số: 4. Câu 19: Trước tiên, ta xác định các điểm trung điểm và tỉ lệ đã cho: - Điểm \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AM = MB \). - Điểm \( N \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( CN = ND \). - Điểm \( P \) nằm trên cạnh \( AD \) sao cho \( AP = \frac{1}{3}AD \). Bây giờ, ta sẽ tìm giao điểm \( Q \) của đường thẳng \( MN \) và cạnh \( BC \). Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán này. Giả sử \( A(0,0,0) \), \( B(2,0,0) \), \( C(0,2,0) \), \( D(0,0,2) \). - Tọa độ của \( M \) là \( M(1,0,0) \) vì \( M \) là trung điểm của \( AB \). - Tọa độ của \( N \) là \( N(0,1,1) \) vì \( N \) là trung điểm của \( CD \). - Tọa độ của \( P \) là \( P(0,0,\frac{2}{3}) \) vì \( P \) nằm trên \( AD \) và \( AP = \frac{1}{3}AD \). Phương trình đường thẳng \( MN \): - Vector \( \overrightarrow{MN} = (-1,1,1) \). - Đường thẳng \( MN \) đi qua điểm \( M(1,0,0) \) và có vector chỉ phương là \( \overrightarrow{MN} = (-1,1,1) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( MN \) là: \[ \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \] Phương trình đường thẳng \( BC \): - Vector \( \overrightarrow{BC} = (-2,2,0) \). - Đường thẳng \( BC \) đi qua điểm \( B(2,0,0) \) và có vector chỉ phương là \( \overrightarrow{BC} = (-2,2,0) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( BC \) là: \[ \begin{cases} x = 2 - 2s \\ y = 2s \\ z = 0 \end{cases} \] Để tìm giao điểm \( Q \) của hai đường thẳng \( MN \) và \( BC \), ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1 - t = 2 - 2s \\ t = 2s \\ t = 0 \end{cases} \] Từ \( t = 0 \), ta có: \[ 1 - 0 = 2 - 2s \Rightarrow s = \frac{1}{2} \] Thay \( s = \frac{1}{2} \) vào phương trình của \( BC \): \[ \begin{cases} x = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của giao điểm \( Q \) là \( Q(1,1,0) \). Bây giờ, ta tính tỉ số \( \frac{BQ}{QC} \): - Tọa độ của \( B \) là \( (2,0,0) \). - Tọa độ của \( C \) là \( (0,2,0) \). - Tọa độ của \( Q \) là \( (1,1,0) \). Vector \( \overrightarrow{BQ} = (1 - 2, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0) \). Vector \( \overrightarrow{QC} = (0 - 1, 2 - 1, 0 - 0) = (-1, 1, 0) \). Do đó, \( \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{QC} \), suy ra \( BQ = QC \). Vậy tỉ số \( \frac{BQ}{QC} = 1 \). Đáp số: \( \frac{BQ}{QC} = 1 \). Câu 20: Trước tiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng \(MP\) đi qua trung điểm của \(AB\) và song song với \(CD\). Do đó, \(MP\) sẽ cắt các cạnh \(AD\) và \(BC\) tại các điểm \(P\) và \(Q\) sao cho \(P\) và \(Q\) cũng là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) tương ứng. Thiết diện tạo thành bởi mặt phẳng \(MP\) sẽ là hình thang \(PQMN\), trong đó \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) tương ứng. Bây giờ, ta sẽ tính diện tích của thiết diện này. 1. Diện tích tam giác \(ABD\): - Ta biết diện tích tam giác \(ABD\) là 16. - Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(P\) là trung điểm của \(AD\), nên tam giác \(MBP\) có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(ABD\): \[ S_{MBP} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 \] 2. Diện tích tam giác \(ABC\): - Tương tự, vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(Q\) là trung điểm của \(BC\), nên tam giác \(MCQ\) có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(ABC\): \[ S_{MCQ} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 \] 3. Diện tích tam giác \(CDB\): - Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) và \(Q\) là trung điểm của \(BC\), nên tam giác \(NCQ\) có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(CDB\): \[ S_{NCQ} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 \] 4. Diện tích tam giác \(DCA\): - Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) và \(P\) là trung điểm của \(AD\), nên tam giác \(NCP\) có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(DCA\): \[ S_{NCP} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 \] 5. Diện tích thiết diện \(PQMN\): - Thiết diện \(PQMN\) bao gồm các tam giác \(MBP\), \(MCQ\), \(NCQ\), và \(NCP\). Tổng diện tích của các tam giác này là: \[ S_{PQMN} = S_{MBP} + S_{MCQ} + S_{NCQ} + S_{NCP} = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 \] Vậy diện tích của thiết diện \(PQMN\) là 16. Câu 21: Để hàm số \( f(x) \) gián đoạn tại \( x = 0 \), ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ hai phía trái và phải. Trước tiên, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ bên trái (\( x \to 0^- \)): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{x^2 + m}{x} \right) = \lim_{x \to 0^-} \left( x + \frac{m}{x} \right) \] Khi \( x \) tiến đến 0 từ bên trái, \( x \) là số âm nhỏ gần 0, do đó \( \frac{m}{x} \) sẽ là số âm lớn (nếu \( m > 0 \)) hoặc số dương lớn (nếu \( m < 0 \)). Vì vậy: - Nếu \( m > 0 \), thì \( \frac{m}{x} \) tiến đến \(-\infty\), do đó \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \). - Nếu \( m < 0 \), thì \( \frac{m}{x} \) tiến đến \(+\infty\), do đó \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty \). Tiếp theo, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ bên phải (\( x \to 0^+ \)): \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{x^2 + m}{x} \right) = \lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{m}{x} \right) \] Khi \( x \) tiến đến 0 từ bên phải, \( x \) là số dương nhỏ gần 0, do đó \( \frac{m}{x} \) sẽ là số dương lớn (nếu \( m > 0 \)) hoặc số âm lớn (nếu \( m < 0 \)). Vì vậy: - Nếu \( m > 0 \), thì \( \frac{m}{x} \) tiến đến \(+\infty\), do đó \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \). - Nếu \( m < 0 \), thì \( \frac{m}{x} \) tiến đến \(-\infty\), do đó \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \). Cuối cùng, ta tính giá trị của hàm số tại điểm \( x = 0 \): \[ f(0) = 2 \] Hàm số \( f(x) \) sẽ gián đoạn tại \( x = 0 \) nếu giới hạn từ hai phía không tồn tại hoặc không bằng nhau. Từ các tính toán trên, ta thấy rằng: - Nếu \( m > 0 \), thì \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \) và \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \). Do đó, giới hạn hai phía không tồn tại và không bằng nhau, hàm số gián đoạn tại \( x = 0 \). - Nếu \( m < 0 \), thì \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty \) và \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \). Do đó, giới hạn hai phía không tồn tại và không bằng nhau, hàm số gián đoạn tại \( x = 0 \). - Nếu \( m = 0 \), thì \( f(x) = x \) khi \( x \neq 0 \) và \( f(0) = 2 \). Giới hạn từ hai phía đều là 0, nhưng giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là 2, do đó hàm số gián đoạn tại \( x = 0 \). Vậy, hàm số \( f(x) \) gián đoạn tại \( x = 0 \) cho mọi giá trị nguyên của \( m \). Đáp số: Có vô số giá trị nguyên của \( m \) để hàm số gián đoạn tại \( x = 0 \). Câu 22: Để tính giới hạn của hàm số, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp và công thức liên quan đến giới hạn. Dưới đây là các bước chi tiết để tính giới hạn của hàm số: Bước 1: Xác định dạng của giới hạn - Kiểm tra xem giới hạn có dạng không xác định hay không (như $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$). Bước 2: Áp dụng phương pháp phù hợp - Nếu giới hạn có dạng không xác định, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp như: + Phân tích nhân tử + Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của biến + Đưa về dạng giới hạn cơ bản + Sử dụng các công thức giới hạn đã biết Bước 3: Tính giới hạn - Thực hiện các phép tính cần thiết để tìm giá trị giới hạn. Ví dụ cụ thể: Giả sử chúng ta cần tính giới hạn của hàm số $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. Bước 1: Xác định dạng của giới hạn - Khi $x \to 0$, $\sin x \to 0$ và $x \to 0$. Vậy giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$, là dạng không xác định. Bước 2: Áp dụng phương pháp phù hợp - Ta biết rằng $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (công thức giới hạn cơ bản). Bước 3: Tính giới hạn - Vậy $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Kết luận: Giới hạn của hàm số $\frac{\sin x}{x}$ khi $x$ tiến đến 0 là 1. Đáp số: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Câu 23: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình đã cho là $\sin x + \cos x = m$. Điều kiện xác định của phương trình này là $- \sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$ vì $\sin x + \cos x$ có giá trị nằm trong khoảng từ $-\sqrt{2}$ đến $\sqrt{2}$. 2. Biến đổi phương trình: Ta có thể viết lại phương trình $\sin x + \cos x = m$ dưới dạng: \[ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) = m \] Điều này tương đương với: \[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = m \] Do đó: \[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{m}{\sqrt{2}} \] 3. Xét các trường hợp: - Nếu $\frac{m}{\sqrt{2}} > 1$ hoặc $\frac{m}{\sqrt{2}} < -1$, tức là $m > \sqrt{2}$ hoặc $m < -\sqrt{2}$, thì phương trình vô nghiệm. - Nếu $\frac{m}{\sqrt{2}} = 1$ hoặc $\frac{m}{\sqrt{2}} = -1$, tức là $m = \sqrt{2}$ hoặc $m = -\sqrt{2}$, thì phương trình có nghiệm duy nhất trong khoảng $(0, 2\pi)$. - Nếu $-1 < \frac{m}{\sqrt{2}} < 1$, tức là $-\sqrt{2} < m < \sqrt{2}$, thì phương trình có hai nghiệm trong khoảng $(0, 2\pi)$. 4. Kết luận: - Nếu $m > \sqrt{2}$ hoặc $m < -\sqrt{2}$, phương trình vô nghiệm. - Nếu $m = \sqrt{2}$ hoặc $m = -\sqrt{2}$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $-\sqrt{2} < m < \sqrt{2}$, phương trình có 2 nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = m$ trên khoảng $(0, 2\pi)$ phụ thuộc vào giá trị của $m$ như sau: - Vô nghiệm nếu $m > \sqrt{2}$ hoặc $m < -\sqrt{2}$. - Có 1 nghiệm nếu $m = \sqrt{2}$ hoặc $m = -\sqrt{2}$. - Có 2 nghiệm nếu $-\sqrt{2} < m < \sqrt{2}$. Câu 24 Để tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng nhân viên: Tổng số lượng nhân viên là: \[ 17 + 38 + 27 + 21 + 7 = 110 \] 2. Xác định vị trí của các tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{110}{4} = 27.5$. Do đó, Q1 nằm giữa giá trị thứ 27 và 28. - Tứ phân vị thứ hai (Q2) nằm ở vị trí $\frac{2n}{4} = \frac{2 \times 110}{4} = 55$. Do đó, Q2 nằm giữa giá trị thứ 55 và 56. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 110}{4} = 82.5$. Do đó, Q3 nằm giữa giá trị thứ 82 và 83. 3. Xác định các giá trị tương ứng với các vị trí đã tìm: - Nhóm đầu tiên (17 nhân viên) bao gồm các giá trị từ 1 đến 17. - Nhóm thứ hai (38 nhân viên) bao gồm các giá trị từ 18 đến 55. - Nhóm thứ ba (27 nhân viên) bao gồm các giá trị từ 56 đến 82. - Nhóm thứ tư (21 nhân viên) bao gồm các giá trị từ 83 đến 103. - Nhóm cuối cùng (7 nhân viên) bao gồm các giá trị từ 104 đến 110. - Q1 nằm trong nhóm thứ hai (18 đến 55). - Vị trí của Q1 trong nhóm này là: 27.5 - 17 = 10.5. - Do đó, Q1 nằm giữa giá trị thứ 10 và 11 trong nhóm thứ hai. - Giá trị của Q1 là: 18 + 10.5 = 28.5 (đơn vị triệu đồng). - Q2 nằm trong nhóm thứ ba (56 đến 82). - Vị trí của Q2 trong nhóm này là: 55 - 55 = 0. - Do đó, Q2 nằm giữa giá trị thứ 55 và 56 trong nhóm thứ ba. - Giá trị của Q2 là: 56 (đơn vị triệu đồng). - Q3 nằm trong nhóm thứ tư (83 đến 103). - Vị trí của Q3 trong nhóm này là: 82.5 - 82 = 0.5. - Do đó, Q3 nằm giữa giá trị thứ 82 và 83 trong nhóm thứ tư. - Giá trị của Q3 là: 83 + 0.5 = 83.5 (đơn vị triệu đồng). 4. Kết luận: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: - Q1 = 28.5 triệu đồng - Q2 = 56 triệu đồng - Q3 = 83.5 triệu đồng Đáp số: Q1 = 28.5 triệu đồng, Q2 = 56 triệu đồng, Q3 = 83.5 triệu đồng.