cứu emmmmm

Câu 2: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 9 \) a) Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \frac{3x+3}{9-x} \right) \left( \frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1} + 1 \right) \] Trước tiên, ta rút gọn từng phần của biểu thức \( P \): Phần 1: \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \frac{3x+3}{9-x} \] Tìm mẫu chung của các phân thức: \[ \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + \sqrt{x}(\sqrt{x}+3) + (3x+3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] \[ = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} + 3x + 3}{x - 9} \] \[ = \frac{6x - 3\sqrt{x} + 3}{x - 9} \] \[ = \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \] Phần 2: \[ \frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1} + 1 \] \[ = \frac{\sqrt{x}-7 + \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}+1} \] \[ = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}+1} \] Kết hợp lại: \[ P = \left( \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \right) \left( \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}+1} \right) \] \[ = \frac{6(2x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x}+1)} \] b) Tìm các giá trị của \( x \) để \( P < 0 \): Ta xét dấu của các thừa số trong biểu thức \( P \): \[ \frac{6(2x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x}+1)} \] - \( 6 > 0 \) - \( 2x - \sqrt{x} + 1 > 0 \) (vì \( 2x - \sqrt{x} + 1 \) luôn dương khi \( x \geq 0 \)) - \( \sqrt{x} - 3 < 0 \) khi \( x < 9 \) - \( x - 9 < 0 \) khi \( x < 9 \) - \( \sqrt{x} + 1 > 0 \) (luôn dương khi \( x \geq 0 \)) Do đó, \( P < 0 \) khi \( x < 9 \) và \( x \neq 0 \). Vậy các giá trị của \( x \) để \( P < 0 \) là: \[ 0 < x < 9 \] Câu 3: a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l3x-y=4\\x+2y=-15\end{array}\right.$ Ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y = 4 \\ x + 2y = -15 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 2y = 8 \\ x + 2y = -15 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ 6x - 2y + x + 2y = 8 - 15 \\ 7x = -7 \\ x = -1 \] Thay \( x = -1 \) vào phương trình \( 3x - y = 4 \): \[ 3(-1) - y = 4 \\ -3 - y = 4 \\ -y = 7 \\ y = -7 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (-1, -7) \). b) Giải bất phương trình \( 5x - (2x - 3) < 4(x - 2) \) Ta có: \[ 5x - 2x + 3 < 4x - 8 \\ 3x + 3 < 4x - 8 \\ 3 + 8 < 4x - 3x \\ 11 < x \\ x > 11 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( x > 11 \). c) Cho hai số \( a \) và \( b \) sao cho \( a \geq b \). Chứng minh \( 1 - 4a \leq 1 - 4b \). Ta có: \[ a \geq b \\ -4a \leq -4b \\ 1 - 4a \leq 1 - 4b \] Vậy ta đã chứng minh được \( 1 - 4a \leq 1 - 4b \). Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Chiều cao của tòa nhà AB = 75m. - Khoảng cách từ chân tòa nhà đến chân núi BC = 124m. - Góc nhìn AC với phương nằm ngang là $56^0$. Bước 2: Xác định các đại lượng cần tìm: - Chiều cao của ngọn núi CD. Bước 3: Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm chiều cao của ngọn núi: - Trong tam giác ABC, góc BAC = $56^0$, cạnh AB = 75m, cạnh BC = 124m. - Ta có: $\tan(56^0) = \frac{AC}{BC}$. Bước 4: Tính AC: - $\tan(56^0) = \frac{AC}{124}$. - $AC = 124 \times \tan(56^0)$. - $AC \approx 124 \times 1,4826 \approx 183,83$ (m). Bước 5: Tìm chiều cao của ngọn núi CD: - Chiều cao của ngọn núi CD = AC - AB. - CD = 183,83 - 75 = 108,83 (m). Vậy ngọn núi cao khoảng 108,83m so với mặt đất. Câu 5 Gọi vận tốc của người thứ nhất là \( x \) (km/h) và vận tốc của người thứ hai là \( y \) (km/h). Điều kiện: \( x > 0 \) và \( y > 0 \). Trong 1 giờ 30 phút (tức là 1,5 giờ), người thứ nhất đi được quãng đường: \[ 1,5x \text{ (km)} \] Trong 2 giờ, người thứ hai đi được quãng đường: \[ 2y \text{ (km)} \] Khi họ gặp nhau, tổng quãng đường hai người đã đi được bằng đoạn đường AB: \[ 1,5x + 2y = 38 \quad \text{(1)} \] Nếu hai người khởi hành đồng thời và sau 45 phút (tức là 0,75 giờ) họ còn cách nhau 21,5 km, thì tổng quãng đường hai người đã đi được là: \[ 38 - 21,5 = 16,5 \text{ (km)} \] Trong 0,75 giờ, tổng quãng đường hai người đi được là: \[ 0,75(x + y) = 16,5 \quad \text{(2)} \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1,5x + 2y = 38 \\ 0,75(x + y) = 16,5 \end{cases} \] Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Đầu tiên, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng hơn: \[ \begin{cases} 1,5x + 2y = 38 \\ 1,5(x + y) = 33 \end{cases} \] Phương trình thứ hai trở thành: \[ 1,5x + 1,5y = 33 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, chúng ta trừ phương trình (3) từ phương trình (1): \[ (1,5x + 2y) - (1,5x + 1,5y) = 38 - 33 \] \[ 0,5y = 5 \] \[ y = 10 \] Thay \( y = 10 \) vào phương trình (3): \[ 1,5x + 1,5(10) = 33 \] \[ 1,5x + 15 = 33 \] \[ 1,5x = 18 \] \[ x = 12 \] Vậy vận tốc của người thứ nhất là 12 km/h và vận tốc của người thứ hai là 10 km/h. Đáp số: Người thứ nhất: 12 km/h, Người thứ hai: 10 km/h. Câu 6: a) Ta có \(MA\) và \(MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(OA \perp MA\) và \(OB \perp MB\). Do đó, \(MA\) và \(MB\) là các tiếp tuyến hạ từ điểm \(M\) đến đường tròn \((O)\), suy ra \(MA = MB\). Xét tam giác \(MOA\) và \(MOB\): - \(OA = OB\) (bán kính của đường tròn) - \(MA = MB\) (tiếp tuyến hạ từ một điểm đến đường tròn) - \(OM\) chung Do đó, tam giác \(MOA\) và \(MOB\) bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Suy ra \(\widehat{MOA} = \widehat{MOB}\). Ta cũng có \(I\) là trung điểm của dây \(PQ\), do đó \(OI \perp PQ\). Vì \(PQ\) là cát tuyến của đường tròn \((O)\), suy ra \(OI\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OPQ\). Xét tứ giác \(OIAM\): - \(OA \perp MA\) và \(OB \perp MB\) - \(OI \perp PQ\) Do đó, các điểm \(O, I, A, M, B\) cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAM\) và \(OBM\). b) Ta có \(E\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(BI\) và đường tròn \((O)\). Xét tam giác \(BOE\): - \(OB = OE\) (bán kính của đường tròn) - \(BI\) là đường cao hạ từ đỉnh \(B\) xuống đáy \(OE\) Do đó, tam giác \(BOE\) là tam giác cân tại \(O\), suy ra \(\widehat{OEB} = \widehat{OBE}\). Ta cũng có \(\widehat{BOM} = \widehat{BOE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)). Vậy \(\widehat{BOM} = \widehat{BEA}\). Đáp số: a) Các điểm \(O, I, A, M, B\) cùng thuộc một đường tròn. b) \(\widehat{BOM} = \widehat{BEA}\).