Giup minh voi nha

Câu 3. Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = \frac{x^2 - 5x - 7}{x - 3} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Khẳng định a) Hàm số có đạo hàm là \( Y = \frac{x^2 + 6x + 30}{(x - 3)^2} \). Ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 5x - 7}{x - 3} \) bằng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 - 5x - 7)'(x - 3) - (x^2 - 5x - 7)(x - 3)'}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 5)(x - 3) - (x^2 - 5x - 7)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 6x - 5x + 15 - x^2 + 5x + 7}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 6x + 22}{(x - 3)^2} \] Nhận thấy rằng đạo hàm \( y' = \frac{x^2 - 6x + 22}{(x - 3)^2} \) không giống với \( Y = \frac{x^2 + 6x + 30}{(x - 3)^2} \). Do đó, khẳng định a) sai. Khẳng định b) \( y' > 0 \) khi \( x \in (2; 4) \). Ta đã tính được đạo hàm \( y' = \frac{x^2 - 6x + 22}{(x - 3)^2} \). Để kiểm tra \( y' > 0 \) trên khoảng \( (2; 4) \), ta xét dấu của tử số \( x^2 - 6x + 22 \): \[ x^2 - 6x + 22 = (x - 3)^2 + 13 \] Do \( (x - 3)^2 \geq 0 \) và \( 13 > 0 \), nên \( x^2 - 6x + 22 > 0 \) với mọi \( x \). Vì vậy, \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq 3 \). Do đó, khẳng định b) đúng. Khẳng định c) Hàm số có bảng biến thiên là: | x | (-∞, 3) | 3 | (3, ∞) | |--------|---------|---|--------| | y' | + | D | + | | y | ↗ | D | ↗ | Bảng biến thiên cho thấy đạo hàm \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq 3 \), hàm số tăng trên cả hai khoảng \( (-\infty, 3) \) và \( (3, \infty) \). Do đó, khẳng định c) đúng. Khẳng định d) Hàm số có đồ thị là: [Đồ thị hàm số y = (x^2 - 5x - 7)/(x - 3)] Đồ thị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 5x - 7}{x - 3} \) sẽ có đường thẳng \( y = x - 2 \) làm đường tiệm cận xiên và đường thẳng \( x = 3 \) làm đường tiệm cận đứng. Đồ thị sẽ tăng trên cả hai khoảng \( (-\infty, 3) \) và \( (3, \infty) \). Do đó, khẳng định d) đúng. Kết luận - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 4. a) Ta tính các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (5 - (-2); 6 - 3; 2 - 1) = (7; 3; 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2 - (-2); 2 - 3; 4 - 1) = (0; -1; 3) \] \[ \overrightarrow{BC} = (-2 - 5; 2 - 6; 4 - 2) = (-7; -4; 2) \] Ta kiểm tra xem tam giác ABC có vuông tại A hay không bằng cách tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 0 - 3 + 3 = 0 \] Vì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, nên tam giác ABC vuông tại A. b) Ta đã tính $\overrightarrow{AB} = (7; 3; 1)$ ở trên. c) Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \] Tính tích vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(7 \cdot 3 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(7 \cdot (-1) - 3 \cdot 0) = \mathbf{i}(9 + 1) - \mathbf{j}(21) + \mathbf{k}(-7) = (10; -21; -7) \] Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{10^2 + (-21)^2 + (-7)^2} = \sqrt{100 + 441 + 49} = \sqrt{590} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{590} \] d) Ta biết rằng $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MC}$. Gọi tọa độ của M là $(x; y; z)$, ta có: \[ \overrightarrow{MA} = (-2 - x; 3 - y; 1 - z) \] \[ \overrightarrow{MC} = (-2 - x; 2 - y; 4 - z) \] Theo điều kiện $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MC}$, ta có: \[ (-2 - x; 3 - y; 1 - z) = 2(-2 - x; 2 - y; 4 - z) \] \[ (-2 - x; 3 - y; 1 - z) = (-4 - 2x; 4 - 2y; 8 - 2z) \] So sánh từng thành phần: \[ -2 - x = -4 - 2x \implies x = -2 \] \[ 3 - y = 4 - 2y \implies y = 1 \] \[ 1 - z = 8 - 2z \implies z = 7 \] Vậy tọa độ của M là $(-2; 1; 7)$. Độ dài đoạn thẳng BM: \[ BM = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (6 - 1)^2 + (2 - 7)^2} = \sqrt{7^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25 + 25} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \] Đáp số: a) Tam giác ABC vuông tại A. b) $\overrightarrow{AB} = (7; 3; 1)$. c) Diện tích tam giác ABC là $\frac{\sqrt{590}}{2}$. d) Độ dài đoạn thẳng BM là $3\sqrt{11}$. Câu 5. a) Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow b$: \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Vậy $|\overrightarrow b| = 13$. Đáp án đúng. b) Kiểm tra xem $\overrightarrow b$ và $\overrightarrow c$ có cùng phương hay không: - Hai vectơ cùng phương nếu tỉ số giữa các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau. - Ta có: \[ \frac{5}{1} \neq \frac{0}{2} \neq \frac{12}{2} \] Vậy $\overrightarrow b$ và $\overrightarrow c$ không cùng phương. Đáp án sai. c) Kiểm tra xem $\overrightarrow c$ có bằng $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ hay không: - Ta tính $\overrightarrow a + \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (-3; 4; 0) + (5; 0; 12) = (2; 4; 12) \] - So sánh với $\overrightarrow c = (1; 2; 2)$: \[ (2; 4; 12) \neq (1; 2; 2) \] Vậy $\overrightarrow c \neq \overrightarrow a + \overrightarrow b$. Đáp án sai. d) Tính cosin của góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$: - Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|} \] - Tính tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = (-3) \cdot 5 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 12 = -15 + 0 + 0 = -15 \] - Tính độ dài của $\overrightarrow a$: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] - Tính cosin góc: \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{-15}{5 \cdot 13} = \frac{-15}{65} = -\frac{3}{13} \] Vậy $\cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = -\frac{3}{13}$. Đáp án đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng