giải chi tiết

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2 \sin x - x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2 \sin x - x) = 2 \cos x - 1 \] 2. Xác định các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 2 \cos x - 1 = 0 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Trên đoạn \([0; 2\pi]\), các nghiệm của phương trình này là: \[ x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{3} \] 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 2 \sin 0 - 0 = 0 \] - Tại \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \] - Tại \( x = \frac{5\pi}{3} \): \[ y\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(\frac{5\pi}{3}\right) - \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \] - Tại \( x = 2\pi \): \[ y(2\pi) = 2 \sin (2\pi) - 2\pi = 0 - 2\pi = -2\pi \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - \( y(0) = 0 \) - \( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 1.732 - 1.047 = 0.685 \) - \( y\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \approx -1.732 - 5.236 = -6.968 \) - \( y(2\pi) = -2\pi \approx -6.283 \) Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \), đạt được khi \( x = \frac{\pi}{3} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \), đạt được khi \( x = \frac{5\pi}{3} \). 5. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ (\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}) + (-\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{3} = -2\pi \] Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2 \sin x - x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\) là: \[ \boxed{-2\pi} \]