giup minhhh

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb R\setminus\{1\}.$ Điều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0: \[2x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.\] Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb R\setminus\{1\}.$ b) Hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty)$ Để kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta tính đạo hàm của hàm số: \[f'(x) = \left(\frac{-x^2 + 3x + 2}{2x - 2}\right)'\] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[f'(x) = \frac{(2x - 2)(-2x + 3) - (-x^2 + 3x + 2)(2)}{(2x - 2)^2}\] \[= \frac{-2x^2 + 3x + 4x - 6 + 2x^2 - 6x - 4}{(2x - 2)^2}\] \[= \frac{-x - 10}{(2x - 2)^2}\] Đạo hàm $f'(x)$ có dấu phụ thuộc vào tử số $-x - 10$ vì mẫu số $(2x - 2)^2$ luôn dương (trừ khi $x = 1$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định). - Khi $x < -10$, $-x - 10 > 0$ nên $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. - Khi $x > -10$, $-x - 10 < 0$ nên $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. Tuy nhiên, do hàm số không xác định tại $x = 1$, nên chúng ta cần kiểm tra lại khoảng xác định: - Trên khoảng $(-\infty; 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, hàm số nghịch biến. c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;1)$ Để kiểm tra tâm đối xứng, chúng ta cần kiểm tra tính chất của hàm số: \[f(x) = \frac{-x^2 + 3x + 2}{2x - 2}\] Chúng ta thử thay $x = 1$ vào hàm số: \[f(1) = \frac{-(1)^2 + 3(1) + 2}{2(1) - 2} = \frac{-1 + 3 + 2}{2 - 2} = \frac{4}{0}\] Do đó, hàm số không xác định tại $x = 1$. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1 từ cả hai phía: \[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(1;1)$. d) Đồ thị hàm số có dạng là đường cong như hình bên dưới Dựa vào các tính chất đã kiểm tra ở trên, đồ thị hàm số sẽ có dạng như sau: - Đồng biến trên $(-\infty; 1)$ - Nghịch biến trên $(1; +\infty)$ - Tâm đối xứng tại $(1;1)$ Đồ thị sẽ có dạng như trong hình vẽ. Kết luận: a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb R\setminus\{1\}.$ b) Hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty)$ c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;1).$ d) Đồ thị hàm số có dạng là đường cong như hình bên dưới. Câu 2: a) Tổng doanh thu $R(x)$ được tính bằng số lượng sản phẩm bán được nhân với giá bán mỗi đơn vị: \[ R(x) = x \cdot p(x) = x(1000 - x) = 1000x - x^2 \] b) Tổng lợi nhuận $P(x)$ được tính bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí: \[ P(x) = R(x) - C(x) = (1000x - x^2) - (3000 + 20x) = -x^2 + 980x - 3000 \] c) Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm giá trị của $x$ làm cho $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất. Ta sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại của hàm số $P(x)$: \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 980x - 3000) = -2x + 980 \] Đặt $P'(x) = 0$ để tìm điểm cực đại: \[ -2x + 980 = 0 \] \[ 2x = 980 \] \[ x = 490 \] Do đó, để tối đa hóa lợi nhuận, công ty phải sản xuất và bán 490 đơn vị Robot. d) Giá bán mỗi đơn vị khi công ty đạt được lợi nhuận tối đa: \[ p(490) = 1000 - 490 = 510 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, giá bán mỗi đơn vị là 510 triệu đồng thì công ty đạt được lợi nhuận tối đa. Đáp số: a) $R(x) = 1000x - x^2$ b) $P(x) = -x^2 + 980x - 3000$ c) Công ty phải sản xuất và bán 490 đơn vị Robot. d) Giá bán mỗi đơn vị là 510 triệu đồng. Câu 3: a) Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$: \[ 2\overrightarrow a = 2(1, -1, 2) = (2, -2, 4) \] \[ - \overrightarrow b = -(3, 0, -2) = (-3, 0, 2) \] \[ 2\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c = (2, -2, 4) + (-3, 0, 2) + (7, -1, -2) = (2 - 3 + 7, -2 + 0 - 1, 4 + 2 - 2) = (6, -3, 4) \] b) Giá trị của $|\overrightarrow b|$: \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13} \] c) Giá trị của $\cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b)$: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = 3 + 0 - 4 = -1 \] \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{13} \] \[ \cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|} = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-1}{\sqrt{78}} \] d) Nếu vectơ $\overrightarrow d$ có độ lớn bằng 1 và $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow d = 2$ thì khi đó $(\overrightarrow a + \overrightarrow d)^2$: \[ |\overrightarrow d| = 1 \Rightarrow \overrightarrow d \cdot \overrightarrow d = 1 \] \[ (\overrightarrow a + \overrightarrow d)^2 = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow d + \overrightarrow d \cdot \overrightarrow d \] \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6 \] \[ (\overrightarrow a + \overrightarrow d)^2 = 6 + 2 \cdot 2 + 1 = 6 + 4 + 1 = 11 \] Đáp số: a) $(6, -3, 4)$ b) $\sqrt{13}$ c) $\frac{-1}{\sqrt{78}}$ d) 11 Câu 4: a) Cỡ mẫu \( n = 45 \). b) Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm \((9;11)\). d) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 5,2 (làm tròn kết quả đến phần mười). Bước 1: Xác định cỡ mẫu Cỡ mẫu \( n = 45 \). Bước 2: Xác định độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1) - Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) là giá trị ở vị trí \(\frac{n}{4} = \frac{45}{4} = 11,25\). - Vị trí này nằm trong khoảng từ 11 đến 12, do đó thuộc nhóm \([9;11)\). Bước 4: Tính khoảng tử phân vị - Khoảng tử phân vị \( IQR = Q_3 - Q_1 \). - Tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) là giá trị ở vị trí \(\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 45}{4} = 33,75\). - Vị trí này nằm trong khoảng từ 33 đến 34, do đó thuộc nhóm \([11;13)\). Bước 5: Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3 - Nhóm \([9;11)\) có giới hạn dưới là 9 và giới hạn trên là 11. - Nhóm \([11;13)\) có giới hạn dưới là 11 và giới hạn trên là 13. Bước 6: Áp dụng công thức tính Q1 và Q3 - \( Q_1 = 9 + \frac{(11,25 - 8)}{9} \times 2 = 9 + \frac{3,25}{9} \times 2 = 9 + 0,722 = 9,722 \approx 9,7 \) - \( Q_3 = 11 + \frac{(33,75 - 26)}{12} \times 2 = 11 + \frac{7,75}{12} \times 2 = 11 + 1,292 = 12,292 \approx 12,3 \) Bước 7: Tính khoảng tử phân vị - \( IQR = Q_3 - Q_1 = 12,3 - 9,7 = 2,6 \) Kết luận: - Cỡ mẫu \( n = 45 \). - Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. - Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm \((9;11)\). - Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 2,6 (làm tròn kết quả đến phần mười). Đáp án: a) Cỡ mẫu \( n = 45 \). b) Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm \((9;11)\). d) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 2,6 (làm tròn kết quả đến phần mười).