Giải hộ em với ạ Câu 14. Có hai xã A,B cùng ở một bên bờờsôôg Lam , khoảng cááchtừ hhiixã đđ đđn bờ,sông lần lượt là $AA^\prime=500~m,~BB^\prime=600~m$ và người ta đo được $A^\prime B^\prime=2200~m($ ( Hình vẽ). Các,kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm,bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết,,kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của,trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A'B' sao,cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là,nhỏ nhất. Biết giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng,cách đó bằng $a\sqrt5~km$ m với a là số nguyên dương.,Tìm a.

Question

Giải hộ em với ạ Câu 14. Có hai xã A,B cùng ở một bên bờờsôôg Lam , khoảng cááchtừ hhiixã đđ đđn bờ,sông lần lượt là $AA^\prime=500~m,~BB^\prime=600~m$ và người ta đo được $A^\prime B^\prime=2200~m($ ( Hình vẽ). Các,kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm,bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/94eab85dcbfc41239f38e4a76dcbb414.jpg />,kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của,trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A&#x27;B&#x27; sao,cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là,nhỏ nhất. Biết giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng,cách đó bằng $a\sqrt5~km$ m với a là số nguyên dương.,Tìm a.

=)) · Accepted Answer

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2 200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2 200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

$\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A^{'} M^{2}} = \sqrt{500^{2} + x^{2}}$ (m);

$\sqrt{B {B^{'}}^{2} + B^{'} M^{2}} = \sqrt{600^{2} + {(2 200 - x)}^{2}}$ (m).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

D = AM + BM = $\sqrt{500^{2} + x^{2}} + \sqrt{600^{2} + {(2 200 - x)}^{2}}$ (m).

Xét hàm số D(x) = $\sqrt{500^{2} + x^{2}} + \sqrt{600^{2} + {(2 200 - x)}^{2}}$ với x ∈ (0; 2 200).

Ta có $D^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{500^{2} + x^{2}}} + \frac{x - 2 200}{\sqrt{600^{2} + {(2 200 - x)}^{2}}}$ ;

Trên khoảng (0; 2 200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1 000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1100 \sqrt{5}$ tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là $1100 \sqrt{5}$ m.

Timi · Answer

Câu 14.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ để tìm điểm M trên đoạn A&#x27;B&#x27; sao cho tổng khoảng cách từ hai xã A và B đến điểm M là nhỏ nhất.

Bước 1: Xây dựng hình học
- Xét điểm B&#x27; đối xứng với điểm B qua bờ sông Lam. Khi đó, khoảng cách từ B đến M sẽ bằng khoảng cách từ B&#x27; đến M.

Bước 2: Tìm điểm M
- Ta cần tìm điểm M trên đoạn A&#x27;B&#x27; sao cho tổng khoảng cách AM + MB&#x27; là nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm điểm M trên đoạn thẳng nối A và B&#x27;.

Bước 3: Tính khoảng cách
- Khoảng cách từ A đến B&#x27; là:
$$ AB&#x27; = \sqrt{(AA&#x27; + BB&#x27;)^2 + (A&#x27;B&#x27;)^2} = \sqrt{(500 + 600)^2 + 2200^2} = \sqrt{1100^2 + 2200^2} = \sqrt{1210000 + 4840000} = \sqrt{6050000} = 100\sqrt{605} = 100\sqrt{121 \times 5} = 100 \times 11 \sqrt{5} = 1100\sqrt{5} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó là $ 1100\sqrt{5} $.

Do đó, $ a = 1100 $.

Đáp số: $ a = 1100 $.