giúp mình vs Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho $A(3;0;0),~B(0;3;0),~C(0;0;3).$ Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian thỏa mãn,M không trùng với các điểm O,A,B,C và $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^0$ Khi đó tổng $a+b+c$ bằng.

Question

Accepted Answer

Câu 6.
Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc vuông trong không gian và tính chất của các vectơ.

1. Xác định các vectơ:
   - Vectơ $\overrightarrow{AM} = (a-3, b, c)$
   - Vectơ $\overrightarrow{BM} = (a, b-3, c)$
   - Vectơ $\overrightarrow{CM} = (a, b, c-3)$

2. Áp dụng điều kiện góc vuông:
   - $\widehat{AMB} = 90^\circ$ suy ra $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$
     $$
     (a-3)a + b(b-3) + c \cdot c = 0
     $$
     $$
     a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2 = 0 \quad \text{(1)}
     $$

- $\widehat{BMC} = 90^\circ$ suy ra $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$
     $$
     a \cdot a + (b-3)b + c(c-3) = 0
     $$
     $$
     a^2 + b^2 - 3b + c^2 - 3c = 0 \quad \text{(2)}
     $$

- $\widehat{CMA} = 90^\circ$ suy ra $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$
     $$
     a(a-3) + b \cdot b + (c-3)c = 0
     $$
     $$
     a^2 - 3a + b^2 + c^2 - 3c = 0 \quad \text{(3)}
     $$

3. Giải hệ phương trình:
   Ta có ba phương trình:
   $$
   a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2 = 0 \quad \text{(1)}
   $$
   $$
   a^2 + b^2 - 3b + c^2 - 3c = 0 \quad \text{(2)}
   $$
   $$
   a^2 - 3a + b^2 + c^2 - 3c = 0 \quad \text{(3)}
   $$

Lấy (1) trừ (2):
   $$
   (a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2) - (a^2 + b^2 - 3b + c^2 - 3c) = 0
   $$
   $$
   -3a + 3c = 0 \implies a = c
   $$

Lấy (1) trừ (3):
   $$
   (a^2 - 3a + b^2 - 3b + c^2) - (a^2 - 3a + b^2 + c^2 - 3c) = 0
   $$
   $$
   -3b + 3c = 0 \implies b = c
   $$

Vậy ta có $a = b = c$. Thay vào phương trình (1):
   $$
   a^2 - 3a + a^2 - 3a + a^2 = 0
   $$
   $$
   3a^2 - 6a = 0
   $$
   $$
   3a(a - 2) = 0
   $$
   $$
   a = 0 \quad \text{hoặc} \quad a = 2
   $$

Vì M không trùng với các điểm O, A, B, C nên $a \neq 0$. Do đó, $a = 2$, suy ra $b = 2$, $c = 2$.

4. Tính tổng $a + b + c$:
   $$
   a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6
   $$

Vậy tổng $a + b + c$ bằng 6.