giup mik nhé Câu 5,Cho hai điểm $A(0;0;2),~B(0;0;10)$ cố định .,Điiểm M trong không gian sao cho $MA=3MB$ là,một mặt cầu. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn,thẳng OM ( O là gốc tọa độ).,Nhập đáp án,Đáp án của bạn,Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định,dạng là A/B. VD: 12/3

Question

Accepted Answer

Câu 5
Điểm M trong không gian sao cho $MA = 3MB$ là một mặt cầu. Ta sẽ tìm tâm và bán kính của mặt cầu này.

Gọi M có tọa độ $(x, y, z)$. Ta có:
$$ MA = \sqrt{x^2 + y^2 + (z-2)^2} $$
$$ MB = \sqrt{x^2 + y^2 + (z-10)^2} $$

Theo đề bài, ta có:
$$ MA = 3MB $$
$$ \sqrt{x^2 + y^2 + (z-2)^2} = 3\sqrt{x^2 + y^2 + (z-10)^2} $$

平方两边，得到：
$$ x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 9(x^2 + y^2 + (z-10)^2) $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4z + 4 = 9(x^2 + y^2 + z^2 - 20z + 100) $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4z + 4 = 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 180z + 900 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4z + 4 = 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 180z + 900 $$
$$ 0 = 8x^2 + 8y^2 + 8z^2 - 176z + 896 $$
$$ 0 = x^2 + y^2 + z^2 - 22z + 112 $$

完成平方，我们得到：
$$ x^2 + y^2 + (z - 11)^2 = 11^2 - 112 $$
$$ x^2 + y^2 + (z - 11)^2 = 121 - 112 $$
$$ x^2 + y^2 + (z - 11)^2 = 9 $$

这是一个以 $(0, 0, 11)$ 为中心，半径为 3 的球面。

现在我们需要找到点 O 到这个球面上的最短距离。O 点是原点 $(0, 0, 0)$，到球心 $(0, 0, 11)$ 的距离是 11。因此，最短距离是球心到原点的距离减去球的半径：
$$ 11 - 3 = 8 $$

所以，最短距离是 8。

答案是：$\boxed{8}$