cxashkkgvxa

Câu 1. Để hàm số $y = x^3 - (m+1)x^2 - (2m^2 - 3m + 2)x + 2m(2m-1)$ đồng biến trên $[2; +\infty)$, ta cần tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( x^3 - (m+1)x^2 - (2m^2 - 3m + 2)x + 2m(2m-1) \right) \] \[ y' = 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 - 3m + 2) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $[2; +\infty)$, ta cần $y' > 0$ trên khoảng này. Do đó, ta xét bất phương trình: \[ 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 - 3m + 2) > 0 \] Bước 3: Ta cần kiểm tra giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 2$: \[ y'(2) = 3(2)^2 - 2(m+1)(2) - (2m^2 - 3m + 2) \] \[ y'(2) = 12 - 4(m+1) - (2m^2 - 3m + 2) \] \[ y'(2) = 12 - 4m - 4 - 2m^2 + 3m - 2 \] \[ y'(2) = -2m^2 - m + 6 \] Để hàm số đồng biến trên $[2; +\infty)$, ta cần: \[ -2m^2 - m + 6 > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình $-2m^2 - m + 6 > 0$: Ta giải phương trình $-2m^2 - m + 6 = 0$ để tìm các nghiệm: \[ -2m^2 - m + 6 = 0 \] \[ 2m^2 + m - 6 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \] \[ m = \frac{-1 \pm 7}{4} \] \[ m = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-8}{4} = -2 \] Do đó, các nghiệm của phương trình là $m = \frac{3}{2}$ và $m = -2$. Bất phương trình $-2m^2 - m + 6 > 0$ sẽ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm này: \[ -2 < m < \frac{3}{2} \] Vậy, các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $[2; +\infty)$ là: \[ \boxed{-2 < m < \frac{3}{2}} \] Câu 2: Để tìm tọa độ của điểm \(E\) thỏa mãn đẳng thức \(CE = 2EB\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BC} \): - Tọa độ của điểm \(B\) là \((0, 2, -2)\). - Tọa độ của điểm \(C\) là \((1, 0, -1)\). Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 0, 0 - 2, -1 - (-2)) = (1, -2, 1) \] 2. Tìm tọa độ của điểm \(E\): - Gọi tọa độ của điểm \(E\) là \((x, y, z)\). - Ta có \(CE = 2EB\), tức là \( \overrightarrow{CE} = 2 \overrightarrow{EB} \). Vectơ \( \overrightarrow{CE} \) và \( \overrightarrow{EB} \) được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{CE} = (x - 1, y - 0, z - (-1)) = (x - 1, y, z + 1) \] \[ \overrightarrow{EB} = (0 - x, 2 - y, -2 - z) = (-x, 2 - y, -2 - z) \] Theo điều kiện \( \overrightarrow{CE} = 2 \overrightarrow{EB} \): \[ (x - 1, y, z + 1) = 2(-x, 2 - y, -2 - z) \] Ta có hệ phương trình: \[ x - 1 = -2x \] \[ y = 2(2 - y) \] \[ z + 1 = 2(-2 - z) \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình đầu tiên: \[ x - 1 = -2x \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ y = 4 - 2y \implies 3y = 4 \implies y = \frac{4}{3} \] - Từ phương trình thứ ba: \[ z + 1 = -4 - 2z \implies 3z = -5 \implies z = -\frac{5}{3} \] Vậy tọa độ của điểm \(E\) là: \[ E \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3} \right) \]