Cho 2 điểm A(-1;2;-3),B(1;-1;1) .Biết AH là đường cao của AOB .Tính độ dài AH

Để tính độ dài đoạn thẳng \(AH\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1); -1 - 2; 1 - (-3)) = (2; -3; 4) \] 2. Tìm phương trình mặt phẳng (OAB): Mặt phẳng (OAB) đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) là tích vô hướng của \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\). \[ \overrightarrow{OA} = (-1; 2; -3) \] \[ \overrightarrow{OB} = (1; -1; 1) \] Tích vô hướng \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\): \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot 1 - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-1 + 3) + \mathbf{k}(1 - 2) \] \[ = -\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{n} = (-1; -2; -1) \] Phương trình mặt phẳng (OAB) là: \[ -x - 2y - z = 0 \] 3. Tìm tọa độ điểm H: Điểm H nằm trên đường thẳng AB và thuộc mặt phẳng (OAB). Ta viết phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -3 + 4t \end{array} \right. \] Thay vào phương trình mặt phẳng (OAB): \[ -(-1 + 2t) - 2(2 - 3t) - (-3 + 4t) = 0 \] \[ 1 - 2t - 4 + 6t + 3 - 4t = 0 \] \[ 0 = 0 \] Điều này chứng tỏ rằng điểm H nằm trên đường thẳng AB và thuộc mặt phẳng (OAB). Ta chọn \(t\) sao cho H thỏa mãn điều kiện trên. 4. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng OB: Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian: \[ d(A, OB) = \frac{\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\|}{\|\overrightarrow{OB}\|} \] Tính \(\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\|\): \[ \|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] Tính \(\|\overrightarrow{OB}\|\): \[ \|\overrightarrow{OB}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Vậy: \[ d(A, OB) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \] 5. Kết luận: Độ dài đoạn thẳng \(AH\) là: \[ AH = \sqrt{2} \] Đáp số: \(AH = \sqrt{2}\)