Giải chi tiết và chính xác ạ Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt2,~AC=a\sqrt3.$ Cạnh bên,$SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy (ABCD)..,a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) bằng: $a\sqrt2.$,b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng: $\frac{a\sqrt3}3$,c) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: $\frac{\sqrt2a^3}3.$,d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AB bằng: $\frac{2a\sqrt5}5.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết các câu hỏi về khoảng cách và thể tích trong hình chóp S.ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)

1. Tìm diện tích tam giác SAD:
   - Diện tích tam giác SAD:
     $$
     S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2
     $$

2. Tính thể tích khối chóp S.ABD:
   - Diện tích tam giác ABD:
     $$
     S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}
     $$
   - Thể tích khối chóp S.ABD:
     $$
     V_{S.ABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times 2a = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}
     $$

3. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD):
   - Gọi khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) là h.
   - Thể tích khối chóp S.ABD cũng có thể tính qua diện tích tam giác SAD và khoảng cách h:
     $$
     V_{S.ABD} = \frac{1}{3} \times S_{SAD} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times h
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \implies h = a\sqrt{2}
     $$

b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)

1. Tìm diện tích tam giác SBC:
   - Diện tích tam giác SBC:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2
     $$

2. Tính thể tích khối chóp S.BCD:
   - Diện tích tam giác BCD:
     $$
     S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}
     $$
   - Thể tích khối chóp S.BCD:
     $$
     V_{S.BCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SB = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times 2a = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}
     $$

3. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC):
   - Gọi khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) là h.
   - Thể tích khối chóp S.BCD cũng có thể tính qua diện tích tam giác SBC và khoảng cách h:
     $$
     V_{S.BCD} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times h
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \implies h = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{3}
     $$

c) Thể tích khối chóp S.ABCD

1. Diện tích đáy ABCD:
   - Diện tích hình chữ nhật ABCD:
     $$
     S_{ABCD} = AB \times AD = a\sqrt{2} \times a = a^2\sqrt{2}
     $$

2. Thể tích khối chóp S.ABCD:
   - Thể tích khối chóp S.ABCD:
     $$
     V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{2} \times 2a = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3}
     $$

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB

1. Tìm diện tích tam giác SAD:
   - Diện tích tam giác SAD:
     $$
     S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2
     $$

2. Tính thể tích khối chóp S.ABD:
   - Diện tích tam giác ABD:
     $$
     S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}
     $$
   - Thể tích khối chóp S.ABD:
     $$
     V_{S.ABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times 2a = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}
     $$

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB:
   - Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB là h.
   - Thể tích khối chóp S.ABD cũng có thể tính qua diện tích tam giác SAD và khoảng cách h:
     $$
     V_{S.ABD} = \frac{1}{3} \times S_{SAD} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times h
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \implies h = \frac{2a\sqrt{5}}{5}
     $$

Đáp số:
a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) là: $a\sqrt{2}$
b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) là: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
c) Thể tích khối chóp S.ABCD là: $\frac{\sqrt{2}a^3}{3}$
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB là: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$