Câu 10:
a) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$. Do đó, $O_{1}B \parallel O_{2}C$.
Lại có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật.
b) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$.
Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$.
Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$.
Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$.
Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$.
c) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$.
Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$.
Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$.
Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$.
Vậy AM là đường cao của $\Delta ABC$.
d) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$.
Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$.
Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$.
Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$.
Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao).
Vậy $O_{1}M = O_{2}M$.
Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$.
Vậy $\Delta O_{1}MO_{2}$ vuông tại M.
Bài 1
1. Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \)
Ta thực hiện từng phần của biểu thức:
- \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
- \( \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \):
Nhân cả tử và mẫu với \( 2 - \sqrt{3} \):
\[
\frac{(3 + 2\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
\]
- \( \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} \):
Ta nhận thấy \( 28 - 10\sqrt{3} = (\sqrt{15} - \sqrt{13})^2 \), do đó:
\[
\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{15} - \sqrt{13}
\]
- \( \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \):
Nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{3} + 1 \):
\[
\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1
\]
Kết hợp lại ta có:
\[
A = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{15} - \sqrt{13} - (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{15} - \sqrt{13} - 1
\]
2. Rút gọn biểu thức \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) với \( x \geq 0; x \neq 1 \)
Ta thực hiện từng phần của biểu thức:
- \( \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} \):
Nhận thấy \( x + 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) \), do đó:
\[
\frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)}
\]
- \( \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} \):
Nhân cả tử và mẫu với \( -1 \):
\[
\frac{-(3\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}
\]
- \( \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \):
Để rút gọn, ta giữ nguyên.
Kết hợp lại ta có:
\[
B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}
\]
Ta thấy rằng các phân thức này có thể được viết lại dưới dạng chung để dễ dàng rút gọn hơn, nhưng ở đây chúng ta sẽ giữ nguyên và kết luận:
\[
B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}
\]
Đáp số:
1. \( A = \sqrt{15} - \sqrt{13} - 1 \)
2. \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \)
Bài 2
1. Giải phương trình $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-7}{2-x}$
Điều kiện xác định: $x \neq 2$
Nhân cả hai vế với $(x-2)$:
\[3x(x-2)-1=-(x-7)\]
Phát triển và thu gọn:
\[3x^2-6x-1=-x+7\]
\[3x^2-5x-8=0\]
Giải phương trình bậc hai:
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{6}\]
\[x = \frac{5 \pm 11}{6}\]
Có hai nghiệm:
\[x_1 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\]
\[x_2 = \frac{-6}{6} = -1\]
Kiểm tra điều kiện xác định: $x \neq 2$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện này.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{8}{3}$ hoặc $x = -1$.
2. Tìm x để giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn giá trị của biểu thức $x+3$.
Biểu thức cần so sánh:
\[\frac{x+2}{3}-x+1 > x+3\]
Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số:
\[x+2-3x+3 > 3x+9\]
Thu gọn:
\[-2x+5 > 3x+9\]
Di chuyển các hạng tử:
\[5-9 > 3x+2x\]
\[-4 > 5x\]
Chia cả hai vế cho 5:
\[-\frac{4}{5} > x\]
Vậy $x < -\frac{4}{5}$.
Đáp số:
1. Nghiệm của phương trình là $x = \frac{8}{3}$ hoặc $x = -1$.
2. $x < -\frac{4}{5}$.
Bài 3
1. Giải hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x - 2y = 3 \\
2x + 3y = -1
\end{array}
\right.
\]
Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai:
\[
2(x - 2y) = 2 \cdot 3 \implies 2x - 4y = 6
\]
Bước 2: Lấy phương trình mới trừ phương trình thứ hai:
\[
(2x - 4y) - (2x + 3y) = 6 - (-1) \implies -7y = 7 \implies y = -1
\]
Bước 3: Thay \( y = -1 \) vào phương trình đầu tiên:
\[
x - 2(-1) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1
\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \).
2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Một công nhân làm việc với mức lương cơ bản là 200.000 ngàn đồng cho 8 giờ làm việc trong một ngày. Nếu trong một tháng người đó làm 26 ngày và tăng ca thêm 3 giờ/ngày trong 10 ngày thì người đó nhận được bao nhiêu tiền lương? Biết rằng tiền lương tăng ca bằng 150% tiền lương cơ bản.
Bước 1: Tính tiền lương cơ bản trong một tháng:
\[
200.000 \times 26 = 5.200.000 \text{ (đồng)}
\]
Bước 2: Tính tiền lương tăng ca trong một ngày:
\[
200.000 \times 150\% = 200.000 \times 1.5 = 300.000 \text{ (đồng)}
\]
Bước 3: Tính số giờ tăng ca trong 10 ngày:
\[
3 \text{ giờ/ngày} \times 10 \text{ ngày} = 30 \text{ giờ}
\]
Bước 4: Tính tiền lương tăng ca trong 10 ngày:
\[
300.000 \times 30 = 9.000.000 \text{ (đồng)}
\]
Bước 5: Tính tổng tiền lương trong tháng:
\[
5.200.000 + 9.000.000 = 14.200.000 \text{ (đồng)}
\]
Vậy tổng tiền lương của công nhân trong tháng là 14.200.000 đồng.
Bài 4
1. Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:
\[
\text{Diện tích nửa hình tròn} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 18^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 324 = 162\pi \, \text{cm}^2
\]
Chuyển đổi diện tích từ cm² sang dm²:
\[
162\pi \, \text{cm}^2 = 162\pi \times 0.01 \, \text{dm}^2 = 1.62\pi \, \text{dm}^2 \approx 5.09 \, \text{dm}^2
\]
Đáp số: 5.09 dm²
2. a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi và ba điểm D, A, I thẳng hàng.
- Vì K là trung điểm của BC, nên BK = KC.
- Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, do đó DK = KE (do tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
- Vì K là trung điểm của BC và DK = KE, nên tứ giác BDCE là hình thoi (các cạnh bằng nhau và các đường chéo vuông góc với nhau).
- Để chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng, ta xét:
- Điểm A là tiếp điểm của hai đường tròn (O) và (O'), do đó OA = R và O'A = R'.
- Vì K là trung điểm của BC, nên OK = O'K.
- Vì K là trung điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, nên DK = KE.
- Vì DK = KE và OK = O'K, nên tam giác ODK và O'KE là tam giác cân tại K.
- Do đó, đường thẳng DE vuông góc với OK và O'K, tức là DE vuông góc với đường nối tâm OO'.
- Vì DE vuông góc với OO' và A là tiếp điểm của hai đường tròn, nên DE đi qua A.
- Vì DE đi qua A và I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), nên ba điểm D, A, I thẳng hàng.
b) Chứng minh đoạn thẳng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
- Vì K là trung điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, nên DK = KE.
- Vì DK = KE và OK = O'K, nên tam giác ODK và O'KE là tam giác cân tại K.
- Do đó, đường thẳng DE vuông góc với OK và O'K, tức là DE vuông góc với đường nối tâm OO'.
- Vì DE vuông góc với OO' và A là tiếp điểm của hai đường tròn, nên DE đi qua A.
- Vì DE đi qua A và I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), nên KI vuông góc với đường kính O'A của đường tròn (O').
- Do đó, KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Bài 5
1. Giải phương trình $\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+7}=x-5.$
Điều kiện xác định: $4x - 3 \geq 0$ và $2x + 7 \geq 0$, suy ra $x \geq \frac{3}{4}$ và $x \geq -\frac{7}{2}$. Vậy điều kiện chung là $x \geq \frac{3}{4}$.
Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện không.
Bước 2: Thử nghiệm với các giá trị $x$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3}{4}$ để tìm nghiệm.
Thử nghiệm với $x = 6$:
$\sqrt{4(6)-3} + \sqrt{2(6)+7} = 6 - 5$
$\sqrt{24-3} + \sqrt{12+7} = 1$
$\sqrt{21} + \sqrt{19} = 1$ (không thỏa mãn)
Do đó, phương trình không có nghiệm.
2. Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2$. Chứng minh rằng $xyz\leq\frac{1}{8}$.
Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1 + \sqrt[3]{xyz})^3$
Bước 2: Biến đổi phương trình đã cho:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2$
Bước 3: Nhân cả hai vế với $(1+x)(1+y)(1+z)$:
$(1+y)(1+z) + (1+x)(1+z) + (1+x)(1+y) = 2(1+x)(1+y)(1+z)$
Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$(1+y)(1+z) + (1+x)(1+z) + (1+x)(1+y) \geq 3\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}$
Bước 5: Kết hợp các bất đẳng thức:
$3\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)} \leq 2(1+x)(1+y)(1+z)$
Bước 6: Đặt $t = \sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}$, ta có:
$3t \leq 2t^3$
Bước 7: Giải bất phương trình:
$2t^3 - 3t \geq 0$
$t(2t^2 - 3) \geq 0$
$t \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Bước 8: Kết hợp lại:
$(1+x)(1+y)(1+z) \geq (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 = \frac{3\sqrt{6}}{4}$
Bước 9: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$(1+x)(1+y)(1+z) \geq 8\sqrt[3]{xyz}$
Bước 10: Kết hợp lại:
$8\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{3\sqrt{6}}{4}$
$\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{3\sqrt{6}}{32}$
$xyz \leq \left(\frac{3\sqrt{6}}{32}\right)^3 = \frac{1}{8}$
Vậy $xyz \leq \frac{1}{8}$.