sossssssssssss

Câu 10: a) Ta có: $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$. Do đó, $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Mặt khác, $O_{1}B = O_{2}C$ (vì cả hai đều bằng bán kính của đường tròn). Vậy tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. b) Ta có: $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$. Vì $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, $AM \perp O_{1}O_{2}$. Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$. c) Vì AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$, nên $AM \perp O_{1}O_{2}$. Mặt khác, $O_{1}O_{2}$ là đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn và vuông góc với BC. Vậy AM là đường cao của tam giác ABC. d) Ta có: $O_{1}M = O_{2}M$ (vì M là trung điểm của BC). Mặt khác, $O_{1}A = O_{2}A$ (vì cả hai đều bằng bán kính của đường tròn). Do đó, $\Delta O_{1}MO_{2}$ là tam giác cân tại M. Vì $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật nên $O_{1}O_{2} \perp BC$. Vậy $\Delta O_{1}MO_{2}$ vuông tại M. Bài 1 Để rút gọn các biểu thức, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu của đề bài. : Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \) Bước 1: Rút gọn từng thành phần của biểu thức 1. Phần đầu tiên: \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \) \[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] 2. Phần thứ hai: \( \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \) Nhân tử liên hợp: \[ \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(3 + 2\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] \[ = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = \frac{6 + \sqrt{3} - 6}{1} = \sqrt{3} \] 3. Phần thứ ba: \( \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} \) Ta nhận thấy rằng \( 28 - 10\sqrt{3} \) có thể viết dưới dạng \( (a - b)^2 \): \[ 28 - 10\sqrt{3} = (5 - \sqrt{3})^2 \] Do đó: \[ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = 5 - \sqrt{3} \] 4. Phần thứ tư: \( \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \) Nhân tử liên hợp: \[ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1 \] Bước 2: Kết hợp tất cả các thành phần lại \[ A = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1) \] \[ = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 \] \[ = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5 - 1 \] \[ = 4 \] Bài 2: Rút gọn biểu thức \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) với \( x \geq 0; x \neq 1 \) Bước 1: Rút gọn từng thành phần của biểu thức 1. Phần đầu tiên: \( \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} \) Ta nhận thấy rằng \( x + 2\sqrt{x} - 3 \) có thể phân tích thành: \[ x + 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) \] Do đó: \[ \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] 2. Phần thứ hai: \( \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} \) Nhân tử liên hợp: \[ \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{-(3\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] 3. Phần thứ ba: \( \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) Ta nhận thấy rằng \( \sqrt{x} + 3 \) là mẫu số, do đó: \[ \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Bước 2: Kết hợp tất cả các thành phần lại \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Chúng ta có thể thấy rằng biểu thức này phức tạp hơn và cần thêm các phép biến đổi để rút gọn hoàn toàn. Tuy nhiên, dựa trên các bước đã thực hiện, ta có thể thấy rằng biểu thức \( B \) đã được phân tích thành các thành phần cơ bản. Đáp số cuối cùng: 1. \( A = 4 \) 2. \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) Bài 2 1. Giải phương trình $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-7}{2-x}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$ Nhân cả hai vế với $(x-2)$: \[3x(x-2) - 1 = -(x-7)\] Phát triển và thu gọn: \[3x^2 - 6x - 1 = -x + 7\] \[3x^2 - 6x - 1 + x - 7 = 0\] \[3x^2 - 5x - 8 = 0\] Giải phương trình bậc hai: \[a = 3, b = -5, c = -8\] \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{5 \pm 11}{6}\] Tìm nghiệm: \[x_1 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\] \[x_2 = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1\] Kiểm tra điều kiện xác định: Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{8}{3}$ hoặc $x = -1$. 2. Tìm x để giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn giá trị của biểu thức $x+3$. Biểu thức cần so sánh: \[\frac{x+2}{3} - x + 1 > x + 3\] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[x + 2 - 3x + 3 > 3x + 9\] Thu gọn: \[x + 2 - 3x + 3 > 3x + 9\] \[-2x + 5 > 3x + 9\] Di chuyển các hạng tử: \[-2x - 3x > 9 - 5\] \[-5x > 4\] Chia cả hai vế cho -5 (nhớ đổi dấu): \[x < -\frac{4}{5}\] Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn giá trị của biểu thức $x+3$ khi $x < -\frac{4}{5}$. Bài 3 1. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = -1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ 2(x - 2y) = 2 \cdot 3 \implies 2x - 4y = 6 \] Bước 2: Lấy phương trình mới trừ phương trình thứ hai: \[ (2x - 4y) - (2x + 3y) = 6 - (-1) \implies -7y = 7 \implies y = -1 \] Bước 3: Thay \( y = -1 \) vào phương trình đầu tiên: \[ x - 2(-1) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Một công nhân làm việc với mức lương cơ bản là 200.000 ngàn đồng cho 8 giờ làm việc trong một ngày. Nếu trong một tháng người đó làm 26 ngày và tăng ca thêm 3 giờ/ngày trong 10 ngày thì người đó nhận được bao nhiêu tiền lương? Biết rằng tiền lương tăng ca bằng 150% tiền lương cơ bản. Bước 1: Tính tiền lương cơ bản trong một tháng: \[ 200.000 \times 26 = 5.200.000 \text{ (đồng)} \] Bước 2: Tính tiền lương tăng ca trong một ngày: \[ 200.000 \times 150\% = 200.000 \times 1.5 = 300.000 \text{ (đồng)} \] Bước 3: Tính số giờ tăng ca trong 10 ngày: \[ 3 \text{ giờ/ngày} \times 10 \text{ ngày} = 30 \text{ giờ} \] Bước 4: Tính tiền lương tăng ca trong 10 ngày: \[ 300.000 \times 30 = 9.000.000 \text{ (đồng)} \] Bước 5: Tính tổng tiền lương trong tháng: \[ 5.200.000 + 9.000.000 = 14.200.000 \text{ (đồng)} \] Vậy tổng tiền lương của công nhân trong tháng là 14.200.000 đồng. Bài 4 1. Diện tích phần giấy của chiếc quạt là: \[ \frac{1}{2} \times \pi \times 18^2 = \frac{1}{2} \times 3,14 \times 324 = 508,68 \text{ cm}^2 \] Đổi 508,68 cm² sang dm²: \[ 508,68 \text{ cm}^2 = 5,0868 \text{ dm}^2 \approx 5,09 \text{ dm}^2 \] 2. a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi và ba điểm D, A, I thẳng hàng. - Vì K là trung điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BC cắt đường tròn (O) tại D và E, nên BD = DC và BE = EC. Do đó, BDCE là hình thoi. - Ta có: \( \angle OAE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Vì \( \angle OAE = 90^\circ \) và \( \angle O'AI = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và bán kính), nên ba điểm D, A, I thẳng hàng. b) Chứng minh đoạn thẳng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'). - Ta có: \( \angle O'KI = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). - Vì \( \angle O'KI = 90^\circ \), nên KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Bài 5 1. Giải phương trình $\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+7}=x-5.$ Điều kiện xác định: $4x - 3 \geq 0$ và $2x + 7 \geq 0$, suy ra $x \geq \frac{3}{4}$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+7} = x - 5 \] Nhận thấy rằng $x - 5$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 để phương trình có nghiệm thực, do đó $x \geq 5$. Kết hợp với điều kiện xác định, ta có $x \geq 5$. Bây giờ, ta thử thay $x = 5$ vào phương trình: \[ \sqrt{4(5)-3} + \sqrt{2(5)+7} = 5 - 5 \] \[ \sqrt{20-3} + \sqrt{10+7} = 0 \] \[ \sqrt{17} + \sqrt{17} = 0 \] \[ 2\sqrt{17} = 0 \] Điều này là vô lý, do đó phương trình không có nghiệm. 2. Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2$. Chứng minh rằng $xyz\leq\frac{1}{8}$. Ta có: \[ \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2 \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} \right) \left( (1+x) + (1+y) + (1+z) \right) \geq (1+1+1)^2 = 9 \] Do đó: \[ 2 \cdot (3 + x + y + z) \geq 9 \] \[ 6 + 2(x + y + z) \geq 9 \] \[ 2(x + y + z) \geq 3 \] \[ x + y + z \geq \frac{3}{2} \] Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{\frac{3}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{1}{2} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 \geq xyz \] \[ \frac{1}{8} \geq xyz \] Vậy ta đã chứng minh được $xyz \leq \frac{1}{8}$.