sossssssssssss

Câu 10: a) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$. Do đó, $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Lại có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. b) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$. Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$. Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$. Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$. c) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$. Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$. Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$. Vậy AM là đường cao của $\Delta ABC$. d) Ta có $O_{1}B \perp d$ và $O_{2}C \perp d$, nên $O_{1}B \parallel O_{2}C$. Mặt khác, $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tứ giác $O_{1}BCO_{2}$ là hình chữ nhật. Từ đó, ta có $O_{1}B = O_{2}C$. Vì M là trung điểm của BC, nên $BM = CM$. Do đó, tam giác $O_{1}BM$ và tam giác $O_{2}CM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Ta có $O_{1}A = R_{1}$ và $O_{2}A = R_{2}$, nên $O_{1}A = O_{2}A$. Do đó, tam giác $O_{1}AM$ và tam giác $O_{2}AM$ là hai tam giác bằng nhau (cùng đáy và chiều cao). Vậy $O_{1}M = O_{2}M$. Do đó, $O_{1}M = O_{2}M$. Vậy $\Delta O_{1}MO_{2}$ vuông tại M. Bài 1 1. Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \) Ta thực hiện từng phần của biểu thức: - \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) - \( \frac{3 + 2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \): Nhân cả tử và mẫu với \( 2 - \sqrt{3} \): \[ \frac{(3 + 2\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6}{4 - 3} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \] - \( \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} \): Ta nhận thấy \( 28 - 10\sqrt{3} = (\sqrt{15} - \sqrt{13})^2 \), do đó: \[ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{15} - \sqrt{13} \] - \( \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \): Nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{3} + 1 \): \[ \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1 \] Kết hợp lại ta có: \[ A = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{15} - \sqrt{13} - (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{15} - \sqrt{13} - 1 \] 2. Rút gọn biểu thức \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) với \( x \geq 0; x \neq 1 \) Ta thực hiện từng phần của biểu thức: - \( \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} \): Nhận thấy \( x + 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) \), do đó: \[ \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} \] - \( \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} \): Nhân cả tử và mẫu với \( -1 \): \[ \frac{-(3\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} \] - \( \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \): Để rút gọn, ta giữ nguyên. Kết hợp lại ta có: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Ta thấy rằng các phân thức này có thể được viết lại dưới dạng chung để dễ dàng rút gọn hơn, nhưng ở đây chúng ta sẽ giữ nguyên và kết luận: \[ B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \] Đáp số: 1. \( A = \sqrt{15} - \sqrt{13} - 1 \) 2. \( B = \frac{15\sqrt{x} - 19}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{-3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \) Bài 2 1. Giải phương trình $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-7}{2-x}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$ Nhân cả hai vế với $(x-2)$: \[3x(x-2)-1=-(x-7)\] Phát triển và thu gọn: \[3x^2-6x-1=-x+7\] \[3x^2-5x-8=0\] Giải phương trình bậc hai: \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{6}\] \[x = \frac{5 \pm 11}{6}\] Có hai nghiệm: \[x_1 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\] \[x_2 = \frac{-6}{6} = -1\] Kiểm tra điều kiện xác định: $x \neq 2$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện này. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{8}{3}$ hoặc $x = -1$. 2. Tìm x để giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{3}-x+1$ lớn hơn giá trị của biểu thức $x+3$. Biểu thức cần so sánh: \[\frac{x+2}{3}-x+1 > x+3\] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[x+2-3x+3 > 3x+9\] Thu gọn: \[-2x+5 > 3x+9\] Di chuyển các hạng tử: \[5-9 > 3x+2x\] \[-4 > 5x\] Chia cả hai vế cho 5: \[-\frac{4}{5} > x\] Vậy $x < -\frac{4}{5}$. Đáp số: 1. Nghiệm của phương trình là $x = \frac{8}{3}$ hoặc $x = -1$. 2. $x < -\frac{4}{5}$. Bài 3 1. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = -1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ 2(x - 2y) = 2 \cdot 3 \implies 2x - 4y = 6 \] Bước 2: Lấy phương trình mới trừ phương trình thứ hai: \[ (2x - 4y) - (2x + 3y) = 6 - (-1) \implies -7y = 7 \implies y = -1 \] Bước 3: Thay \( y = -1 \) vào phương trình đầu tiên: \[ x - 2(-1) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Một công nhân làm việc với mức lương cơ bản là 200.000 ngàn đồng cho 8 giờ làm việc trong một ngày. Nếu trong một tháng người đó làm 26 ngày và tăng ca thêm 3 giờ/ngày trong 10 ngày thì người đó nhận được bao nhiêu tiền lương? Biết rằng tiền lương tăng ca bằng 150% tiền lương cơ bản. Bước 1: Tính tiền lương cơ bản trong một tháng: \[ 200.000 \times 26 = 5.200.000 \text{ (đồng)} \] Bước 2: Tính tiền lương tăng ca trong một ngày: \[ 200.000 \times 150\% = 200.000 \times 1.5 = 300.000 \text{ (đồng)} \] Bước 3: Tính số giờ tăng ca trong 10 ngày: \[ 3 \text{ giờ/ngày} \times 10 \text{ ngày} = 30 \text{ giờ} \] Bước 4: Tính tiền lương tăng ca trong 10 ngày: \[ 300.000 \times 30 = 9.000.000 \text{ (đồng)} \] Bước 5: Tính tổng tiền lương trong tháng: \[ 5.200.000 + 9.000.000 = 14.200.000 \text{ (đồng)} \] Vậy tổng tiền lương của công nhân trong tháng là 14.200.000 đồng. Bài 4 1. Diện tích phần giấy của chiếc quạt là: \[ \text{Diện tích nửa hình tròn} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 18^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 324 = 162\pi \, \text{cm}^2 \] Chuyển đổi diện tích từ cm² sang dm²: \[ 162\pi \, \text{cm}^2 = 162\pi \times 0.01 \, \text{dm}^2 = 1.62\pi \, \text{dm}^2 \approx 5.09 \, \text{dm}^2 \] Đáp số: 5.09 dm² 2. a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi và ba điểm D, A, I thẳng hàng. - Vì K là trung điểm của BC, nên BK = KC. - Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, do đó DK = KE (do tính chất đường kính vuông góc với dây cung). - Vì K là trung điểm của BC và DK = KE, nên tứ giác BDCE là hình thoi (các cạnh bằng nhau và các đường chéo vuông góc với nhau). - Để chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng, ta xét: - Điểm A là tiếp điểm của hai đường tròn (O) và (O'), do đó OA = R và O'A = R'. - Vì K là trung điểm của BC, nên OK = O'K. - Vì K là trung điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, nên DK = KE. - Vì DK = KE và OK = O'K, nên tam giác ODK và O'KE là tam giác cân tại K. - Do đó, đường thẳng DE vuông góc với OK và O'K, tức là DE vuông góc với đường nối tâm OO'. - Vì DE vuông góc với OO' và A là tiếp điểm của hai đường tròn, nên DE đi qua A. - Vì DE đi qua A và I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), nên ba điểm D, A, I thẳng hàng. b) Chứng minh đoạn thẳng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'). - Vì K là trung điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt đường tròn (O) tại D và E, nên DK = KE. - Vì DK = KE và OK = O'K, nên tam giác ODK và O'KE là tam giác cân tại K. - Do đó, đường thẳng DE vuông góc với OK và O'K, tức là DE vuông góc với đường nối tâm OO'. - Vì DE vuông góc với OO' và A là tiếp điểm của hai đường tròn, nên DE đi qua A. - Vì DE đi qua A và I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (O'), nên KI vuông góc với đường kính O'A của đường tròn (O'). - Do đó, KI là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Bài 5 1. Giải phương trình $\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+7}=x-5.$ Điều kiện xác định: $4x - 3 \geq 0$ và $2x + 7 \geq 0$, suy ra $x \geq \frac{3}{4}$ và $x \geq -\frac{7}{2}$. Vậy điều kiện chung là $x \geq \frac{3}{4}$. Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện không. Bước 2: Thử nghiệm với các giá trị $x$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3}{4}$ để tìm nghiệm. Thử nghiệm với $x = 6$: $\sqrt{4(6)-3} + \sqrt{2(6)+7} = 6 - 5$ $\sqrt{24-3} + \sqrt{12+7} = 1$ $\sqrt{21} + \sqrt{19} = 1$ (không thỏa mãn) Do đó, phương trình không có nghiệm. 2. Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2$. Chứng minh rằng $xyz\leq\frac{1}{8}$. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1 + \sqrt[3]{xyz})^3$ Bước 2: Biến đổi phương trình đã cho: $\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2$ Bước 3: Nhân cả hai vế với $(1+x)(1+y)(1+z)$: $(1+y)(1+z) + (1+x)(1+z) + (1+x)(1+y) = 2(1+x)(1+y)(1+z)$ Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $(1+y)(1+z) + (1+x)(1+z) + (1+x)(1+y) \geq 3\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}$ Bước 5: Kết hợp các bất đẳng thức: $3\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)} \leq 2(1+x)(1+y)(1+z)$ Bước 6: Đặt $t = \sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}$, ta có: $3t \leq 2t^3$ Bước 7: Giải bất phương trình: $2t^3 - 3t \geq 0$ $t(2t^2 - 3) \geq 0$ $t \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$ Bước 8: Kết hợp lại: $(1+x)(1+y)(1+z) \geq (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 = \frac{3\sqrt{6}}{4}$ Bước 9: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $(1+x)(1+y)(1+z) \geq 8\sqrt[3]{xyz}$ Bước 10: Kết hợp lại: $8\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{3\sqrt{6}}{4}$ $\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{3\sqrt{6}}{32}$ $xyz \leq \left(\frac{3\sqrt{6}}{32}\right)^3 = \frac{1}{8}$ Vậy $xyz \leq \frac{1}{8}$.