giúp toi với

Câu 10. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân giá trị trung tâm của mỗi nhóm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của độ lệch giữa giá trị trung tâm của mỗi nhóm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước này. Bước 1: Tính trung bình cộng | Nhóm | Giá trị trung tâm | Tần số | Giá trị trung tâm × Tần số | |------|-------------------|--------|---------------------------| | [25; 35) | 30 | 10 | 300 | | [35; 45) | 40 | 7 | 280 | | [45; 55) | 50 | 5 | 250 | | [55; 65) | 60 | 9 | 540 | | [65; 75) | 70 | 9 | 630 | Tổng tần số: \(10 + 7 + 5 + 9 + 9 = 40\) Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{300 + 280 + 250 + 540 + 630}{40} = \frac{2000}{40} = 50 \] Bước 2: Tính phương sai | Nhóm | Giá trị trung tâm | Tần số | Độ lệch | Bình phương độ lệch | Bình phương độ lệch × Tần số | |------|-------------------|--------|---------|---------------------|------------------------------| | [25; 35) | 30 | 10 | 30 - 50 = -20 | (-20)^2 = 400 | 400 × 10 = 4000 | | [35; 45) | 40 | 7 | 40 - 50 = -10 | (-10)^2 = 100 | 100 × 7 = 700 | | [45; 55) | 50 | 5 | 50 - 50 = 0 | 0^2 = 0 | 0 × 5 = 0 | | [55; 65) | 60 | 9 | 60 - 50 = 10 | 10^2 = 100 | 100 × 9 = 900 | | [65; 75) | 70 | 9 | 70 - 50 = 20 | 20^2 = 400 | 400 × 9 = 3600 | Phương sai: \[ s^2 = \frac{4000 + 700 + 0 + 900 + 3600}{40} = \frac{9200}{40} = 230 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{230} \approx 15,16 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ s \approx 15,2 \] Vậy đáp án đúng là: C. 15,2 Câu 11. Khoảng tử phân vị (Interquartile Range - IQR) của một mẫu số liệu được tính bằng cách lấy giá trị của phần tử ở vị trí Q3 trừ đi giá trị của phần tử ở vị trí Q1. Cụ thể: \[ IQR = Q_3 - Q_1 \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ IQR = 31,75 - 11,25 \] \[ IQR = 20,5 \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là 20,5. Đáp án đúng là: B. 20,5 Câu 12. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [4;6): Trung tâm là $\frac{4 + 6}{2} = 5$ - Nhóm [6;8): Trung tâm là $\frac{6 + 8}{2} = 7$ - Nhóm [8;10): Trung tâm là $\frac{8 + 10}{2} = 9$ - Nhóm [10;12): Trung tâm là $\frac{10 + 12}{2} = 11$ - Tính tổng của các giá trị trung tâm nhân với tần số tương ứng: \[ 5 \times 12 + 7 \times 18 + 9 \times 8 + 11 \times 6 = 60 + 126 + 72 + 66 = 324 \] - Tính tổng tần số: \[ 12 + 18 + 8 + 6 = 44 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{324}{44} \approx 7,36 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ (5 - 7,36)^2 \times 12 + (7 - 7,36)^2 \times 18 + (9 - 7,36)^2 \times 8 + (11 - 7,36)^2 \times 6 \] \[ = (-2,36)^2 \times 12 + (-0,36)^2 \times 18 + (1,64)^2 \times 8 + (3,64)^2 \times 6 \] \[ = 5,5696 \times 12 + 0,1296 \times 18 + 2,6896 \times 8 + 13,2496 \times 6 \] \[ = 66,8352 + 2,3328 + 21,5168 + 79,4976 = 169,1824 \] - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{169,1824}{44} \approx 3,84 \] Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là khoảng 3,84. Vậy đáp án đúng là: D. 3,87 Câu 1. a) Tập xác định của hàm số là R vì hàm số là đa thức. b) $y' = 3x^2 - 3$ c) Để tìm khoảng đồng biến của hàm số, ta giải bất phương trình $y' > 0$. $3x^2 - 3 > 0$ $x^2 - 1 > 0$ $(x - 1)(x + 1) > 0$ Từ đây, ta có hai trường hợp: - $x - 1 > 0$ và $x + 1 > 0$ suy ra $x > 1$ và $x > -1$ suy ra $x > 1$. - $x - 1 < 0$ và $x + 1 < 0$ suy ra $x < 1$ và $x < -1$ suy ra $x < -1$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. d) Để tìm điểm cực tiểu của hàm số, ta giải phương trình $y' = 0$. $3x^2 - 3 = 0$ $x^2 - 1 = 0$ $(x - 1)(x + 1) = 0$ Từ đây, ta có hai nghiệm: - $x - 1 = 0$ suy ra $x = 1$. - $x + 1 = 0$ suy ra $x = -1$. Ta kiểm tra dấu của $y'$ ở các khoảng lân cận các điểm $x = -1$ và $x = 1$: - Khi $x < -1$, ta chọn $x = -2$: $y' = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$. - Khi $-1 < x < 1$, ta chọn $x = 0$: $y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. - Khi $x > 1$, ta chọn $x = 2$: $y' = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$. Đáp số: a) Tập xác định của hàm số là R. b) $y' = 3x^2 - 3$. c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. d) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Đường thẳng \( y = -1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( f(x) \). Điều kiện xác định của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{1 - x} \) là \( 1 - x \neq 0 \), tức là \( x \neq 1 \). Do đó, đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, chứ không phải \( y = -1 \). Vậy phần này sai. b) Đồ thị hàm số \( f(x) \) có đường tiệm cận xiên \( y = -x + 1 \). Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( 1 - x \): \[ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{1 - x} = -x + 1 + \frac{2}{1 - x} \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{2}{1 - x} \to 0 \), vậy đường tiệm cận xiên là \( y = -x + 1 \). Phần này đúng. c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là \( y = 1 - 2x \). Để tìm cực trị của hàm số, ta tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{1 - x} \] Sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(1 - x) - (x^2 - x + 1)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2x - 1 - 2x^2 + x + x^2 - x + 1}{(1 - x)^2} = \frac{-x^2 + 2x}{(1 - x)^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \): \[ f(0) = \frac{0^2 - 0 + 1}{1 - 0} = 1 \] \[ f(2) = \frac{2^2 - 2 + 1}{1 - 2} = \frac{4 - 2 + 1}{-1} = -3 \] Hai điểm cực trị là \( (0, 1) \) và \( (2, -3) \). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này là: \[ y - 1 = \frac{-3 - 1}{2 - 0}(x - 0) \Rightarrow y - 1 = -2x \Rightarrow y = 1 - 2x \] Phần này đúng. d) Đồ thị hàm số \( f(x) \) đã cho là đường cong trong hình bên. Dựa vào các tính chất đã tìm ra ở trên, ta thấy rằng đồ thị hàm số \( f(x) \) có tiệm cận đứng \( x = 1 \), tiệm cận xiên \( y = -x + 1 \), và hai điểm cực trị \( (0, 1) \) và \( (2, -3) \). Các tính chất này phù hợp với đường cong trong hình vẽ. Vậy phần này đúng. Kết luận: Các lựa chọn đúng là: - b) Đồ thị hàm số \( f(x) \) có đường tiệm cận xiên \( y = -x + 1 \). - c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là \( y = 1 - 2x \). - d) Đồ thị hàm số \( f(x) \) đã cho là đường cong trong hình bên. Đáp án: b, c, d. Câu 3. a) Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \times (-2) + (-2) \times 1 + 3 \times (-6) = 0 - 2 - 18 = -20 \] Vậy $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -20$. b) Tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 1 + 36} = \sqrt{41} \] c) Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-20}{\sqrt{13} \times \sqrt{41}} = \frac{-20}{\sqrt{533}} \] Vậy $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-20}{\sqrt{533}}$. d) Tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ [\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-6) - (3)(1)) - \mathbf{j}((0)(-6) - (3)(-2)) + \mathbf{k}((0)(1) - (-2)(-2)) \] \[ = \mathbf{i}(12 - 3) - \mathbf{j}(0 + 6) + \mathbf{k}(0 - 4) \] \[ = 9\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \] Vậy $[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}] = (9, -6, -4)$. Đáp số: a) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -20$ b) $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{13}$, $|\overrightarrow{b}| = \sqrt{41}$ c) $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-20}{\sqrt{533}}$ d) $[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}] = (9, -6, -4)$ Câu 4. Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác nhận điểm trung bình của mỗi lớp Lớp 12A: - Nhóm [0; 2,5): 2 học sinh, trung điểm là 1,25 - Nhóm [2,5; 5): 8 học sinh, trung điểm là 3,75 - Nhóm [5; 7,5): 20 học sinh, trung điểm là 6,25 - Nhóm [7,5; 10): 10 học sinh, trung điểm là 8,75 Điểm trung bình của lớp 12A: \[ \bar{x}_A = \frac{(1,25 \times 2) + (3,75 \times 8) + (6,25 \times 20) + (8,75 \times 10)}{2 + 8 + 20 + 10} = \frac{2,5 + 30 + 125 + 87,5}{40} = \frac{245}{40} = 6,125 \] Lớp 12B: - Nhóm [0; 2,5): 3 học sinh, trung điểm là 1,25 - Nhóm [2,5; 5): 10 học sinh, trung điểm là 3,75 - Nhóm [5; 7,5): 21 học sinh, trung điểm là 6,25 - Nhóm [7,5; 10): 6 học sinh, trung điểm là 8,75 Điểm trung bình của lớp 12B: \[ \bar{x}_B = \frac{(1,25 \times 3) + (3,75 \times 10) + (6,25 \times 21) + (8,75 \times 6)}{3 + 10 + 21 + 6} = \frac{3,75 + 37,5 + 131,25 + 52,5}{40} = \frac{225}{40} = 5,625 \] Bước 2: Xác nhận phương sai của mỗi lớp Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: - Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A là \( S^2_A = 4,5 \) - Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B là \( S^2_B = 3,89 \) Bước 3: So sánh độ lệch chuẩn của hai lớp Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: - Độ lệch chuẩn của lớp 12A: \( S_A = \sqrt{4,5} \approx 2,12 \) - Độ lệch chuẩn của lớp 12B: \( S_B = \sqrt{3,89} \approx 1,97 \) Kết luận: - Điểm trung bình của lớp 12A là 6,125. - Điểm trung bình của lớp 12B là 5,625. - Phương sai của lớp 12A là 4,5. - Phương sai của lớp 12B là 3,89. - Độ lệch chuẩn của lớp 12A là khoảng 2,12. - Độ lệch chuẩn của lớp 12B là khoảng 1,97. Dựa vào độ lệch chuẩn, điểm thi của học sinh lớp 12B đồng đều hơn lớp 12A vì độ lệch chuẩn của lớp 12B nhỏ hơn độ lệch chuẩn của lớp 12A.