Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm cạnh SC. Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng (AGM). Tính tỷ số KS/KD

Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình bình hành$\displaystyle \Rightarrow $AC và BD cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường  
Xét (SAC) và (SBD) có: 
S là điểm chung thứ nhất 
O là điểm chung thứ hai
$\displaystyle \Rightarrow $SO là tiếp tuyến của (SAC) và (SBD) 
Trong (SAC) gọi I là giao điểm của AM và SO 
$\displaystyle \Rightarrow I\in AM$ mà AM$\displaystyle \subset $(AMG)
$\displaystyle \Rightarrow I\in ( AMG)$
Lại có I$\displaystyle \in $SO mà SO$\displaystyle \subset $(SBD)
$\displaystyle \Rightarrow I\in $(SBD) 
Trong (SBD) gọi K là giao điểm IG và SD
$\displaystyle \Rightarrow K\in IG$ mà IG$\displaystyle \subset $(AMG)
$\displaystyle \Rightarrow SD\cap ( AMG) =K$
Xét $\displaystyle \vartriangle $SAC có 
AM và SO là 2 đường trung tuyến 
AM$\displaystyle \cap $SO tại I
$\displaystyle \Rightarrow $I là trọng tâm $\displaystyle \vartriangle $SAC$\displaystyle \Rightarrow \frac{IO}{SO} =\frac{1}{3}$ (1)
Vì G là trọng tâm $\displaystyle \vartriangle $ABC$\displaystyle \Rightarrow \frac{OG}{OB} =\frac{1}{3}$ (2) 
Từ (1)(2)$\displaystyle \Rightarrow \frac{IO}{SO} =\frac{OG}{OB} \Rightarrow IG//SB$ (định lý Thales đảo)
$\displaystyle \Rightarrow $GK // SB$\displaystyle \Rightarrow \frac{SK}{KD} =\frac{BG}{GD}$ (định lý Thales )(3)
Lại có G là trọng tâm $\displaystyle \vartriangle $ABC$\displaystyle \Rightarrow BG=\frac{2}{3} BO\Rightarrow BG=\frac{1}{3} BD$.
$\displaystyle \Rightarrow BG=\frac{1}{2} BD$ (4)
Từ (3)(4)$\displaystyle \Rightarrow \frac{KS}{KD} =\frac{1}{2}$