Tùm a,b để hàm số liên tục BTVN.,VD1: Tìm a, b để h/số liên tục.,$a)~f(x)=\left\{\begin{array}l\frac{x^2-(a+1)x+a~với~x1}{x^2-1}~tại~x=1\2x+3~với~x\leq1\end{array} ight.$,$b)~Hx)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^2+3}-2&với~x
e-1~tại~x=-1\2ax+1&với~x=-1\end{array} ight.$,$c)~f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{4x^2+5}-a&với~x
e1\x-1&với~x-1&tại~x=1\end{array} ight.$

Question

Tùm a,b để hàm số liên tục BTVN.,VD1: Tìm a, b để h/số liên tục.,$a)~f(x)=\left\{\begin{array}l\frac{x^2-(a+1)x+a~với~x>1}{x^2-1}~tại~x=1\2x+3~với~x\leq1\end{array}ight.$,$b)~Hx)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^2+3}-2&với~x
e-1~tại~x=-1\2ax+1&với~x=-1\end{array}ight.$,$c)~f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{4x^2+5}-a&với~x
e1\x-1&với~x-1&tại~x=1\end{array}ight.$

Timi · Accepted Answer

a) Tìm a, b để hàm số liên tục tại $ x = 1 $

Hàm số đã cho:
$$ f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 - (a+1)x + a}{x^2 - 1} & \text{với } x > 1 \
2x + 3 & \text{với } x \leq 1 
\end{cases} $$

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) $$

Tính giới hạn từ bên phải:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - (a+1)x + a}{x^2 - 1} $$

Phân tích mẫu số:
$$ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $$

Phân tích tử số:
$$ x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) $$

Do đó:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-a)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-a}{x+1} = \frac{1-a}{2} $$

Tính giá trị của hàm số tại $ x = 1 $:
$$ f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 $$

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $:
$$ \frac{1-a}{2} = 5 $$
$$ 1 - a = 10 $$
$$ a = -9 $$

b) Tìm a, b để hàm số liên tục tại $ x = -1 $

Hàm số đã cho:
$$ f(x) = \begin{cases} 
\sqrt{x^2 + 3} - 2 & \text{với } x \ne -1 \
2ax + 1 & \text{với } x = -1 
\end{cases} $$

Để hàm số liên tục tại $ x = -1 $, ta cần:
$$ \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) $$

Tính giới hạn từ cả hai phía:
$$ \lim_{x \to -1} (\sqrt{x^2 + 3} - 2) = \sqrt{(-1)^2 + 3} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 $$

Giá trị của hàm số tại $ x = -1 $:
$$ f(-1) = 2a(-1) + 1 = -2a + 1 $$

Để hàm số liên tục tại $ x = -1 $:
$$ -2a + 1 = 0 $$
$$ -2a = -1 $$
$$ a = \frac{1}{2} $$

c) Tìm a, b để hàm số liên tục tại $ x = 1 $

Hàm số đã cho:
$$ f(x) = \begin{cases} 
\frac{\sqrt{4x^2 + 5} - a}{x - 1} - a & \text{với } x \ne 1 \
x - 1 & \text{với } x = 1 
\end{cases} $$

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) $$

Tính giới hạn từ cả hai phía:
$$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{4x^2 + 5} - a}{x - 1} - a \right) $$

Nhân lượng liên hợp:
$$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{4x^2 + 5} - a}{x - 1} - a \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{(\sqrt{4x^2 + 5} - a)(\sqrt{4x^2 + 5} + a)}{(x - 1)(\sqrt{4x^2 + 5} + a)} - a \right) $$
$$ = \lim_{x \to 1} \left( \frac{4x^2 + 5 - a^2}{(x - 1)(\sqrt{4x^2 + 5} + a)} - a \right) $$

Phân tích mẫu số:
$$ 4x^2 + 5 - a^2 = (x - 1)(4x + 4 + a^2) $$

Do đó:
$$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{(x - 1)(4x + 4 + a^2)}{(x - 1)(\sqrt{4x^2 + 5} + a)} - a \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{4x + 4 + a^2}{\sqrt{4x^2 + 5} + a} - a \right) $$
$$ = \frac{4 \cdot 1 + 4 + a^2}{\sqrt{4 \cdot 1^2 + 5} + a} - a = \frac{8 + a^2}{3 + a} - a $$

Giá trị của hàm số tại $ x = 1 $:
$$ f(1) = 1 - 1 = 0 $$

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $:
$$ \frac{8 + a^2}{3 + a} - a = 0 $$
$$ \frac{8 + a^2}{3 + a} = a $$
$$ 8 + a^2 = a(3 + a) $$
$$ 8 + a^2 = 3a + a^2 $$
$$ 8 = 3a $$
$$ a = \frac{8}{3} $$

Đáp số:
a) $ a = -9 $
b) $ a = \frac{1}{2} $
c) $ a = \frac{8}{3} $

Thule · Answer

a) Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$ :

Hàm số:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - (a+1)x + a}{x^2 - 1}, & ext{khi } x > 1 \ 2x + 3, & ext{khi } x \leq 1 \end{cases}$

Điều kiện liên tục tại $x = 1$ :

$\lim_{x o 1^+} f(x) = \lim_{x o 1^-} f(x) = f(1)$

Tính $f(1)$ :

$f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

Tính $\lim_{x o 1^+} f(x)$ :
Phân tích:

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1), \quad x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a)$

$\lim_{x o 1^+} f(x) = \lim_{x o 1^+} \frac{(x-1)(x-a)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x o 1^+} \frac{x-a}{x+1} = \frac{1-a}{2}$

Điều kiện liên tục:

$\frac{1-a}{2} = 5 \implies 1 - a = 10 \implies a = -9$

Kết quả: $a = -9$ .

b) Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = -1$ :

Hàm số:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + 3} - 2, & ext{khi } x e -1 \ 2ax + 1, & ext{khi } x = -1 \end{cases}$

Điều kiện liên tục tại $x = -1$ :

$\lim_{x o -1} f(x) = f(-1)$

Tính $\lim_{x o -1} f(x)$ :

$\lim_{x o -1} (\sqrt{x^2 + 3} - 2) = \sqrt{(-1)^2 + 3} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0$

Tính $f(-1)$ :

$f(-1) = 2a(-1) + 1 = -2a + 1$

Điều kiện liên tục:

$-2a + 1 = 0 \implies -2a = -1 \implies a = \frac{1}{2}$

Kết quả: $a = \frac{1}{2}$ .