Trả lời chi tiết phần 3 la mã

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( P = 15a - 2b \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( a \) và \( b \). Trước tiên, ta xét hàm số \( y = \frac{3x - 1}{x - 3} \). 1. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{3x - 1}{x - 3} \) là \( x = 3 \), vì khi \( x = 3 \), mẫu số \( x - 3 \) bằng 0. 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Để tìm đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = 3 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 3 \). 3. Xác định giá trị của \( a \) và \( b \): Từ trên, ta thấy rằng đường tiệm cận đứng là \( x = 3 \) và đường tiệm cận ngang là \( y = 3 \). Do đó, ta có: \[ a = 3 \quad \text{và} \quad b = 3 \] 4. Tính giá trị của biểu thức \( P \): Thay \( a = 3 \) và \( b = 3 \) vào biểu thức \( P = 15a - 2b \): \[ P = 15 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 45 - 6 = 39 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 39 \). Đáp số: \( P = 39 \). Câu 2. Để tìm vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( S(t) \) để tìm được hàm vận tốc \( v(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ S(t) = t^3 + 2t^2 - 10t + 5 \] \[ S'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 - 10t + 5) \] \[ S'(t) = 3t^2 + 4t - 10 \] Bước 2: Thay \( t = 5 \) vào hàm đạo hàm \( S'(t) \) để tìm vận tốc tại thời điểm đó: \[ v(5) = S'(5) = 3(5)^2 + 4(5) - 10 \] \[ v(5) = 3(25) + 20 - 10 \] \[ v(5) = 75 + 20 - 10 \] \[ v(5) = 85 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là 85 m/s. Câu 3. Để hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + mx + 1}{x - 4} \) đồng biến trên khoảng \( (4; +\infty) \), ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \) và đảm bảo đạo hàm này dương trên khoảng đó. Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \). \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + mx + 1}{x - 4} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + mx + 1)'(x - 4) - (x^2 + mx + 1)(x - 4)'}{(x - 4)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x^2 + mx + 1)' = 2x + m \] \[ (x - 4)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(2x + m)(x - 4) - (x^2 + mx + 1)}{(x - 4)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{2x^2 + mx - 8x - 4m - x^2 - mx - 1}{(x - 4)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 4m - 1}{(x - 4)^2} \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên \( (4; +\infty) \), ta cần \( f'(x) > 0 \) trên khoảng đó. \[ \frac{x^2 - 8x - 4m - 1}{(x - 4)^2} > 0 \] Vì \( (x - 4)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 4 \), ta chỉ cần quan tâm đến tử số: \[ x^2 - 8x - 4m - 1 > 0 \] Bước 3: Xét dấu của biểu thức \( x^2 - 8x - 4m - 1 \). Ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức này dương trên \( (4; +\infty) \). Xét phương trình: \[ x^2 - 8x - 4m - 1 = 0 \] Ta cần tìm \( m \) sao cho phương trình này không có nghiệm hoặc có nghiệm nằm ngoài khoảng \( (4; +\infty) \). Phương trình \( x^2 - 8x - 4m - 1 = 0 \) có nghiệm khi: \[ \Delta = 64 + 4(4m + 1) = 68 + 16m \geq 0 \] \[ 16m \geq -68 \] \[ m \geq -\frac{68}{16} \] \[ m \geq -\frac{17}{4} \] Để biểu thức \( x^2 - 8x - 4m - 1 \) dương trên \( (4; +\infty) \), ta cần \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 8x - 4m - 1 = 0 \) không có nghiệm hoặc có nghiệm nằm ngoài khoảng \( (4; +\infty) \). Do đó, ta cần \( m \leq -\frac{17}{4} \). Bước 4: Tìm số giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn \( [-2024; 2025] \) thỏa mãn điều kiện trên. \[ -2024 \leq m \leq -\frac{17}{4} \] \[ -2024 \leq m \leq -4.25 \] Những giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn này là từ \( -2024 \) đến \( -5 \). Số giá trị nguyên của \( m \) là: \[ 2024 - 5 + 1 = 2020 \] Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số \( m \) thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 4. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm trong tứ diện đều ABCD. Vì ABCD là tứ diện đều nên tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Ta cần tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trong đó: - $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{CD}$ Bước 1: Xác định tọa độ của các đỉnh A, B, C, D trong không gian. Ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0) - D($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $\frac{a\sqrt{6}}{3}$) Bước 2: Tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: - $\overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0)$ - $\overrightarrow{CD} = D - C = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{6}}{3} - 0\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$ Bước 3: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (a, 0, 0) \cdot \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = 0 \] Bước 4: Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: - $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$ - $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^2 \cdot 3}{9} + \frac{a^2 \cdot 6}{9}} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 9}{9}} = a$ Bước 5: Áp dụng công thức tính góc: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{0}{a \cdot a} = 0 \] Do đó: \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Vậy góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là $90^\circ$. Câu 5. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào các tọa độ của điểm \( A(0, 5, -3) \) và \( B(-1, 2, 5) \): 1. Tính hiệu các tọa độ: \[ x_2 - x_1 = -1 - 0 = -1 \] \[ y_2 - y_1 = 2 - 5 = -3 \] \[ z_2 - z_1 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \] 2. Tính bình phương các hiệu này: \[ (-1)^2 = 1 \] \[ (-3)^2 = 9 \] \[ 8^2 = 64 \] 3. Cộng các bình phương lại: \[ 1 + 9 + 64 = 74 \] 4. Tính căn bậc hai của tổng này để tìm độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{74} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là \( \sqrt{74} \).