gsdghuuuiioik

Câu 10. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4x^8 - 5\sin x + 7\ln|x| + 2 \), ta sẽ tính nguyên hàm từng thành phần của nó. 1. Tính nguyên hàm của \( 4x^8 \): \[ \int 4x^8 \, dx = 4 \cdot \frac{x^9}{9} = \frac{4}{9}x^9 \] 2. Tính nguyên hàm của \( -5\sin x \): \[ \int -5\sin x \, dx = -5(-\cos x) = 5\cos x \] 3. Tính nguyên hàm của \( 7\ln|x| \): \[ \int 7\ln|x| \, dx \] Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \( u = \ln|x| \) và \( dv = 7 \, dx \). Ta có: \[ du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{và} \quad v = 7x \] Do đó: \[ \int 7\ln|x| \, dx = 7x\ln|x| - \int 7x \cdot \frac{1}{x} \, dx = 7x\ln|x| - 7x \] 4. Tính nguyên hàm của \( 2 \): \[ \int 2 \, dx = 2x \] Gộp tất cả các kết quả lại, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + 7x\ln|x| - 7x + 2x + C \] \[ = \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + 7x\ln|x| - 5x + C \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng hoàn toàn với kết quả trên. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để xem có đáp án nào gần đúng nhất. Trong các đáp án: A. \( \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + \frac{7}{x} + 2x + C \) B. \( 32x^7 + 5\cos x + \frac{7}{x} \) C. \( \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + \frac{7}{x} \) D. \( 32x^7 - 5\cos x + \frac{7}{x} \) Đáp án C gần đúng nhất với kết quả tính toán của chúng ta, nhưng vẫn chưa chính xác hoàn toàn vì thiếu thành phần \( 7x\ln|x| - 5x \). Vậy, đáp án gần đúng nhất là: C. \( \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + \frac{7}{x} \) Đáp án: C. \( \frac{4}{9}x^9 + 5\cos x + \frac{7}{x} \) Câu 11. Để tính tích phân $\int\frac{9x^4+5x^3+7}{x^4}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân: \[ \frac{9x^4 + 5x^3 + 7}{x^4} = \frac{9x^4}{x^4} + \frac{5x^3}{x^4} + \frac{7}{x^4} = 9 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^4} \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int \left(9 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^4}\right) dx = \int 9 \, dx + \int \frac{5}{x} \, dx + \int \frac{7}{x^4} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int 9 \, dx = 9x + C_1 \] \[ \int \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln |x| + C_2 \] \[ \int \frac{7}{x^4} \, dx = 7 \int x^{-4} \, dx = 7 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C_3 = -\frac{7}{3} \frac{1}{x^3} + C_3 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int \left(9 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^4}\right) dx = 9x + 5 \ln |x| - \frac{7}{3} \frac{1}{x^3} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $~-\frac{7}{3}\frac{1}{x^3} + 5 \ln |x| + 9x + C$. Câu 12. Để tìm \( F(x) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 5x^3 - 3x - 5 \). \[ F(x) = \int (5x^3 - 3x - 5) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 5x^3 \, dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4}x^4 \] \[ \int -3x \, dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2 \] \[ \int -5 \, dx = -5x \] Vậy: \[ F(x) = \frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 5x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(-2) = -2 \). Thay \( x = -2 \) vào \( F(x) \): \[ F(-2) = \frac{5}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 - 5(-2) + C \] \[ F(-2) = \frac{5}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) + 10 + C \] \[ F(-2) = 20 - 6 + 10 + C \] \[ F(-2) = 24 + C \] Theo điều kiện \( F(-2) = -2 \): \[ 24 + C = -2 \] \[ C = -2 - 24 \] \[ C = -26 \] Bước 3: Viết lại \( F(x) \) với giá trị của \( C \): \[ F(x) = \frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 5x - 26 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 5x - 26 \) Đáp án: B. \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 5x - 26 \) Câu 13. Để tìm $\int f^\prime(x)dx$, trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm của $f(x)$. $f(x) = x^7 + 5x + 10$ Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(10) \] \[ f'(x) = 7x^6 + 5 + 0 \] \[ f'(x) = 7x^6 + 5 \] Bây giờ, chúng ta cần tìm nguyên hàm của $f'(x)$: \[ \int f'(x) \, dx = \int (7x^6 + 5) \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int 7x^6 \, dx = 7 \cdot \frac{x^7}{7} = x^7 \] \[ \int 5 \, dx = 5x \] Vậy: \[ \int f'(x) \, dx = x^7 + 5x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $~x^7 + 5x + C$ Câu 14. Để tính $\int\frac{10x+3}{4x+2}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia tử số cho mẫu số để đơn giản hóa tích phân: \[ \frac{10x + 3}{4x + 2} = \frac{10x + 3}{2(2x + 1)} = \frac{5(2x + 1) - 2}{2(2x + 1)} = \frac{5(2x + 1)}{2(2x + 1)} - \frac{2}{2(2x + 1)} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2x + 1} \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int \left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2x + 1}\right) dx = \int \frac{5}{2} dx - \int \frac{1}{2x + 1} dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int \frac{5}{2} dx = \frac{5}{2} \int dx = \frac{5}{2} x + C_1 \] \[ \int \frac{1}{2x + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C_2 \] Bước 4: Kết hợp lại: \[ \int \left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2x + 1}\right) dx = \frac{5}{2} x - \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{5}{2} x - \frac{1}{2} \ln |4x + 2| + C$ Đáp án: A. $\frac{5}{2} x - \frac{1}{2} \ln |4x + 2| + C$