Vâjsksskakkskzkxxk

Câu 5: Để hàm số \( f(x) = x^2 - x - 2m + 3 \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức này không có nghiệm thực và luôn lớn hơn 0. Bước 1: Xét dấu của hệ số \( a \) trong phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c \): \[ a = 1 > 0 \] Do đó, parabol của hàm số này mở ra phía trên. Bước 2: Để hàm số luôn dương, phương trình \( x^2 - x - 2m + 3 = 0 \) phải không có nghiệm thực. Điều này tương đương với: \[ \Delta < 0 \] Bước 3: Tính delta (\( \Delta \)) của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m + 3) \] \[ \Delta = 1 + 8m - 12 \] \[ \Delta = 8m - 11 \] Bước 4: Đặt điều kiện cho delta nhỏ hơn 0: \[ 8m - 11 < 0 \] \[ 8m < 11 \] \[ m < \frac{11}{8} \] Vậy, để hàm số \( f(x) = x^2 - x - 2m + 3 \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), tham số \( m \) phải thỏa mãn: \[ m < \frac{11}{8} \] Đáp số: \( m < \frac{11}{8} \). Câu 6: Để tính cường độ hợp lực tác động lên chất điểm, ta cần tìm tổng của các vectơ lực tác động lên chất điểm. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Xác định các vectơ lực: - Lực \( \vec{F}_1 \) có cường độ 10N và cùng hướng với \( \overrightarrow{AB} \). - Lực \( \vec{F}_2 \) có cường độ 10N và cùng hướng với \( \overrightarrow{AC} \). - Lực \( \vec{F}_3 \) có cường độ 15N và cùng hướng với \( \overrightarrow{AD} \). 2. Tìm các thành phần của các vectơ lực: - Vì \( \overrightarrow{AB} \) nằm trên trục Ox, nên \( \vec{F}_1 \) có thành phần là \( F_{1x} = 10N \) và \( F_{1y} = 0N \). - \( \overrightarrow{AC} \) là đường chéo của hình vuông, tạo với trục Ox góc 45°. Do đó, thành phần của \( \vec{F}_2 \) là: \[ F_{2x} = 10 \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ N} \] \[ F_{2y} = 10 \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ N} \] - \( \overrightarrow{AD} \) nằm trên trục Oy, nên \( \vec{F}_3 \) có thành phần là \( F_{3x} = 0N \) và \( F_{3y} = 15N \). 3. Tính tổng các thành phần của các vectơ lực: - Thành phần x của hợp lực: \[ F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 10 + 5\sqrt{2} + 0 = 10 + 5\sqrt{2} \text{ N} \] - Thành phần y của hợp lực: \[ F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 + 5\sqrt{2} + 15 = 5\sqrt{2} + 15 \text{ N} \] 4. Tính cường độ hợp lực: - Cường độ hợp lực \( F \) là: \[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(10 + 5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2} + 15)^2} \] \[ F = \sqrt{(10 + 5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2} + 15)^2} \] \[ F = \sqrt{(100 + 100\sqrt{2} + 50) + (50 + 150\sqrt{2} + 225)} \] \[ F = \sqrt{150 + 100\sqrt{2} + 275 + 150\sqrt{2}} \] \[ F = \sqrt{425 + 250\sqrt{2}} \] Vậy cường độ hợp lực tác động lên chất điểm là \( \sqrt{425 + 250\sqrt{2}} \) N. Câu 1. a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{1-x}}x$ Điều kiện xác định: - $\sqrt{1-x}$ yêu cầu $1 - x \geq 0$, suy ra $x \leq 1$ - $\frac{1}{x}$ yêu cầu $x \neq 0$ Tập xác định của hàm số là: $(-\infty, 0) \cup (0, 1]$ b) Giải phương trình $\sqrt{x^2 + x + 2} = 5 - 3x$ Điều kiện xác định: - $\sqrt{x^2 + x + 2}$ luôn luôn xác định vì $x^2 + x + 2 > 0$ với mọi $x$ - $5 - 3x \geq 0$, suy ra $x \leq \frac{5}{3}$ Bây giờ, ta bình phương cả hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{x^2 + x + 2})^2 = (5 - 3x)^2 \] \[ x^2 + x + 2 = 25 - 30x + 9x^2 \] Rearrange the equation: \[ x^2 + x + 2 = 25 - 30x + 9x^2 \] \[ 0 = 8x^2 - 31x + 23 \] Ta giải phương trình bậc hai $8x^2 - 31x + 23 = 0$ bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{31 \pm \sqrt{(-31)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 23}}{2 \cdot 8} \] \[ x = \frac{31 \pm \sqrt{961 - 736}}{16} \] \[ x = \frac{31 \pm \sqrt{225}}{16} \] \[ x = \frac{31 \pm 15}{16} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{31 + 15}{16} = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \] \[ x_2 = \frac{31 - 15}{16} = \frac{16}{16} = 1 \] Kiểm tra điều kiện $x \leq \frac{5}{3}$: - $x_1 = \frac{23}{8} > \frac{5}{3}$, loại - $x_2 = 1 \leq \frac{5}{3}$, thỏa mãn Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$. Câu 2. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+2x-3.$ Để lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+2x-3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đỉnh của parabol: Hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ là một hàm bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$. Với $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$. Tọa độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức: \[ x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Thay $x = -1$ vào phương trình hàm số để tìm $y_{đỉnh}$: \[ y_{đỉnh} = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol là $(-1, -4)$. 2. Xác định hướng mở của parabol: Vì $a = 1 > 0$, nên parabol mở ra phía trên. 3. Tìm các giao điểm với trục hoành: Để tìm các giao điểm với trục hoành, ta giải phương trình: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này: \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Vậy các giao điểm với trục hoành là $(-3, 0)$ và $(1, 0)$. 4. Lập bảng biến thiên: Ta lập bảng biến thiên dựa trên các thông tin đã tìm được: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & \\ \hline y & +\infty & \searrow & -4 & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array} \] 5. Vẽ đồ thị: Đồ thị của hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ là một parabol mở ra phía trên, có đỉnh tại $(-1, -4)$, giao điểm với trục hoành tại $(-3, 0)$ và $(1, 0)$. b) Tìm giá trị của x để $x^2 + 2x - 3 \geq 0$ Để tìm giá trị của $x$ sao cho $x^2 + 2x - 3 \geq 0$, ta sử dụng kết quả từ bước tìm giao điểm với trục hoành và hướng mở của parabol: - Parabol $y = x^2 + 2x - 3$ mở ra phía trên. - Giao điểm với trục hoành là $(-3, 0)$ và $(1, 0)$. Do đó, biểu thức $x^2 + 2x - 3$ sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 trong các khoảng: \[ x \leq -3 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 \] Vậy giá trị của $x$ để $x^2 + 2x - 3 \geq 0$ là: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) \] Câu 2. a) Áp dụng định lý余弦定理计算边BC的长度： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] \[ BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ \] \[ BC^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ BC^2 = 9 + 25 + 15 \] \[ BC^2 = 49 \] \[ BC = 7 \text{ cm} \] b) 首先，点M是边BC的中点，因此： \[ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] 接下来，点K满足： \[ 3\overrightarrow{KM} + \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{0} \] 这意味着K在AM上，且K将AM分成比例为1:3的部分。因此，K的位置可以表示为： \[ \overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AM} \] 现在，我们需要找到向量$\overrightarrow{BK}$的表达式。首先，我们有： \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{AK} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{3}{8} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 然后，我们计算$\overrightarrow{BK}$： \[ \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} \] \[ \overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{8} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BK} = -\frac{5}{8} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{8} \overrightarrow{AC} \] 因此，m和n分别为： \[ m = -\frac{5}{8}, \quad n = \frac{3}{8} \] 最终答案是： \[ m = -\frac{5}{8}, \quad n = \frac{3}{8} \]