4444444444444443333

Câu 3: Trước hết, ta xác định phương trình của parabol. Ta giả sử phương trình của parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Do cổng đi qua gốc tọa độ O(0,0), ta có: \[ c = 0 \] Vậy phương trình trở thành: \[ y = ax^2 + bx \] Ta biết rằng OA = 4m, tức là điểm A có tọa độ (4,0). Thay vào phương trình: \[ 0 = a(4)^2 + b(4) \] \[ 0 = 16a + 4b \] \[ 4b = -16a \] \[ b = -4a \] Tiếp theo, ta biết rằng điểm M nằm trên cổng cách mặt đất một khoảng MH = 5,25m và khoảng cách từ H đến O bằng 1,05m. Tức là tọa độ của điểm M là (1,05, 5,25). Thay vào phương trình: \[ 5,25 = a(1,05)^2 + b(1,05) \] \[ 5,25 = a(1,1025) + b(1,05) \] \[ 5,25 = 1,1025a + 1,05b \] Thay \( b = -4a \) vào phương trình trên: \[ 5,25 = 1,1025a + 1,05(-4a) \] \[ 5,25 = 1,1025a - 4,2a \] \[ 5,25 = -3,0975a \] \[ a = \frac{5,25}{-3,0975} \] \[ a \approx -1,695 \] Vậy \( b = -4a \): \[ b = -4(-1,695) \] \[ b \approx 6,78 \] Phương trình của parabol là: \[ y = -1,695x^2 + 6,78x \] Để tìm chiều cao của cổng ở vị trí cao nhất, ta cần tìm đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] \[ x = -\frac{6,78}{2(-1,695)} \] \[ x \approx 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình của parabol để tìm y: \[ y = -1,695(2)^2 + 6,78(2) \] \[ y = -1,695(4) + 13,56 \] \[ y = -6,78 + 13,56 \] \[ y = 6,78 \] Vậy chiều cao của cổng ở vị trí cao nhất là 6,78m. Câu 4: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ điểm A đến điểm B. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ điểm A đến điểm C. Hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a, do đó: - Độ dài cạnh AB là 2a. - Độ dài cạnh AC là $2a\sqrt{2}$ (vì AC là đường chéo của hình vuông). Ta biết rằng trong hình vuông, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 45°. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{AB}| = 2a$ - $|\overrightarrow{AC}| = 2a\sqrt{2}$ - $\theta = 45^\circ$ Biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta thay vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2a \cdot 2a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2a \cdot 2a \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2a \cdot 2a \cdot 1 \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4a^2 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $4a^2$.