Giai giup toi

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + x + 5 \). 2. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số. 3. Giải phương trình đạo hàm bậc hai bằng 0 để tìm giá trị của \( a \). 4. Thay giá trị của \( a \) vào hàm số ban đầu để tìm giá trị của \( b \). 5. Tính tổng \( a + b \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + x + 5 \). \[ y' = 3x^2 - 4x + 1 \] Bước 2: Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số. \[ y'' = 6x - 4 \] Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bậc hai bằng 0 để tìm giá trị của \( a \). \[ y'' = 0 \] \[ 6x - 4 = 0 \] \[ 6x = 4 \] \[ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Vậy \( a = \frac{2}{3} \). Bước 4: Thay giá trị của \( a \) vào hàm số ban đầu để tìm giá trị của \( b \). \[ y = \left( \frac{2}{3} \right)^3 - 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{2}{3} + 5 \] \[ y = \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} + 5 \] \[ y = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} + 5 \] \[ y = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} + 5 \] \[ y = \frac{8 - 24 + 18}{27} + 5 \] \[ y = \frac{2}{27} + 5 \] \[ y = \frac{2}{27} + \frac{135}{27} \] \[ y = \frac{137}{27} \approx 5.074 \] Vậy \( b \approx 5.074 \). Bước 5: Tính tổng \( a + b \). \[ a + b = \frac{2}{3} + 5.074 \approx 0.667 + 5.074 = 5.741 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần chục là: \[ a + b \approx 5.7 \] Đáp số: \( a + b \approx 5.7 \) Câu 2: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(2; -3) \) đến đường thẳng \( d \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1} \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tiệm cận xiên của hàm số Ta thực hiện phép chia \( 2x^2 - 3x + 1 \) cho \( x + 1 \): \[ \begin{array}{r|rr} & 2x - 5 \\ \hline x + 1 & 2x^2 - 3x + 1 \\ & -(2x^2 + 2x) \\ \hline & -5x + 1 \\ & -(-5x - 5) \\ \hline & 6 \\ \end{array} \] Như vậy, ta có: \[ y = 2x - 5 + \frac{6}{x + 1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{6}{x + 1} \to 0 \), nên tiệm cận xiên của hàm số là đường thẳng \( y = 2x - 5 \). Bước 2: Viết phương trình đường thẳng \( d \) Phương trình đường thẳng \( d \) là: \[ d: y = 2x - 5 \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \( A(2; -3) \) đến đường thẳng \( d \) Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 5 \), \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -3 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 3 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|12|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: \[ d \approx 5.3 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(2; -3) \) đến đường thẳng \( d \) là \( 5.3 \). Câu 3: Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overline{F_1}$, $\overline{F_2}$, và $\overline{F_3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính hợp lực của hai lực $\overline{F_1}$ và $\overline{F_2}$: - Gọi hợp lực của $\overline{F_1}$ và $\overline{F_2}$ là $\overline{F_{12}}$. - Áp dụng công thức tính hợp lực của hai vectơ: \[ |\overline{F_{12}}| = \sqrt{|\overline{F_1}|^2 + |\overline{F_2}|^2 + 2 |\overline{F_1}| |\overline{F_2}| \cos(\theta)} \] Trong đó, $\theta = 120^\circ$, $|\overline{F_1}| = 15$ N, và $|\overline{F_2}| = 18$ N. \[ |\overline{F_{12}}| = \sqrt{15^2 + 18^2 + 2 \cdot 15 \cdot 18 \cdot \cos(120^\circ)} \] Biết rằng $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta có: \[ |\overline{F_{12}}| = \sqrt{225 + 324 + 2 \cdot 15 \cdot 18 \cdot (-\frac{1}{2})} \] \[ |\overline{F_{12}}| = \sqrt{225 + 324 - 270} \] \[ |\overline{F_{12}}| = \sqrt{279} \approx 16.7 \text{ N} \] 2. Tính hợp lực của ba lực $\overline{F_1}$, $\overline{F_2}$, và $\overline{F_3}$: - Gọi hợp lực của ba lực là $\overline{F}$. - Vì $\overline{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng tạo bởi $\overline{F_1}$ và $\overline{F_2}$, nên ta có thể coi $\overline{F_{12}}$ và $\overline{F_3}$ là hai vectơ vuông góc với nhau. - Áp dụng công thức tính hợp lực của hai vectơ vuông góc: \[ |\overline{F}| = \sqrt{|\overline{F_{12}}|^2 + |\overline{F_3}|^2} \] Trong đó, $|\overline{F_{12}}| \approx 16.7$ N và $|\overline{F_3}| = 8$ N. \[ |\overline{F}| = \sqrt{16.7^2 + 8^2} \] \[ |\overline{F}| = \sqrt{278.89 + 64} \] \[ |\overline{F}| = \sqrt{342.89} \approx 18.5 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 18.5 N. Câu 4: Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số ngày: Tổng số ngày = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 ngày. 2. Xác định các vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = $\frac{1}{4} \times 18 = 4,5$ (suy ra Q1 nằm ở nhóm thứ 2) - Vị trí của Q3 = $\frac{3}{4} \times 18 = 13,5$ (suy ra Q3 nằm ở nhóm thứ 4) 3. Xác định các nhóm chứa Q1 và Q3: - Nhóm chứa Q1: [25; 30) - Nhóm chứa Q3: [35; 40) 4. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: - Công thức chung: $Q = L + \frac{\frac{n}{4} - F}{f} \times w$ - Với: - \(L\) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q - \(n\) là tổng số quan sát - \(F\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q - \(f\) là tần số của nhóm chứa Q - \(w\) là khoảng rộng của nhóm chứa Q 5. Tính Q1: - \(L = 25\) - \(n = 18\) - \(F = 6\) (tổng tần số của nhóm trước nhóm chứa Q1) - \(f = 6\) (tần số của nhóm chứa Q1) - \(w = 5\) (khoảng rộng của nhóm chứa Q1) - \(Q1 = 25 + \frac{4,5 - 6}{6} \times 5 = 25 + \frac{-1,5}{6} \times 5 = 25 - 1,25 = 23,75\) 6. Tính Q3: - \(L = 35\) - \(n = 18\) - \(F = 16\) (tổng tần số của nhóm trước nhóm chứa Q3) - \(f = 1\) (tần số của nhóm chứa Q3) - \(w = 5\) (khoảng rộng của nhóm chứa Q3) - \(Q3 = 35 + \frac{13,5 - 16}{1} \times 5 = 35 + \frac{-2,5}{1} \times 5 = 35 - 12,5 = 42,5\) 7. Tính khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 42,5 - 23,75 = 18,75 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là 18,75 phút. Câu 5: Để MNPQ là hình bình hành, ta cần các vectơ đối边相等，即： \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ} \] 首先计算向量 $\overrightarrow{MN}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$。 向量 $\overrightarrow{MN}$ 的坐标为： \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (2 - (-1), 0 - 2, 4 - (-3)) = (3, -2, 7) \] 向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的坐标为： \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = (m - (-1), n - 4, p - 0) = (m + 1, n - 4, p) \] 由于 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$，我们可以得到以下方程组： \[ \begin{cases} m + 1 = 3 \\ n - 4 = -2 \\ p = 7 \end{cases} \] 解这个方程组，我们得到： \[ \begin{cases} m = 2 \\ n = 2 \\ p = 7 \end{cases} \] 现在，我们需要计算 $T = 3m - 2n + 7p$： \[ T = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 7 \cdot 7 = 6 - 4 + 49 = 51 \] 因此，$T$ 的值为： \[ \boxed{51} \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm chiều rộng của khu đất hình chữ nhật sao cho tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chiều dài lưới thép. Gọi chiều rộng của khu đất là \( x \) (với \( 0 < x \leq 16 \)) và chiều dài của khu đất là \( y \). Diện tích của khu đất là: \[ xy = 242 \] Tổng chiều dài lưới thép cần dùng là: \[ P = x + 2y \] Thay \( y = \frac{242}{x} \) vào công thức trên, ta có: \[ P = x + 2 \left( \frac{242}{x} \right) = x + \frac{484}{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \): \[ P'(x) = 1 - \frac{484}{x^2} \] Đặt \( P'(x) = 0 \): \[ 1 - \frac{484}{x^2} = 0 \] \[ \frac{484}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 484 \] \[ x = 22 \quad \text{(loại vì \( x \leq 16 \))} \] Do đó, chúng ta cần kiểm tra các giá trị cận biên \( x = 16 \) và \( x \to 0^+ \): - Khi \( x = 16 \): \[ y = \frac{242}{16} = 15.125 \] \[ P = 16 + 2 \times 15.125 = 16 + 30.25 = 46.25 \] - Khi \( x \to 0^+ \): \[ y \to \infty \] \[ P \to \infty \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) xảy ra khi \( x = 16 \). Đáp số: Chiều rộng của khu đất là \( 16 \) mét.