Mình cần đáp án đúng

Câu 1: Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi trung tuyến thành tỉ số 2 : 1, tức là GA : GM = 2 : 1. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{GA} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \] Vậy đáp án đúng là: C. $-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Câu 2: Để xác định hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng hệ đã cho: A. $\left\{\begin{array}lx+2y-1\leq0\\3x-y+5\geq0\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên: $x + 2y - 1 \leq 0$ là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai: $3x - y + 5 \geq 0$ cũng là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. $\left\{\begin{array}lx+5y-9=0\\4x-7y+3=0\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên: $x + 5y - 9 = 0$ là một phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai: $4x - 7y + 3 = 0$ cũng là một phương trình bậc nhất hai ẩn. C. $\left\{\begin{array}ly-5>0\\x+3\leq0\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên: $y - 5 > 0$ là một bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Phương trình thứ hai: $x + 3 \leq 0$ là một bất phương trình bậc nhất một ẩn. D. $\left\{\begin{array}lx+y-2\geq0\\-2x+y+3\leq0\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên: $x + y - 2 \geq 0$ là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai: $-2x + y + 3 \leq 0$ là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ ba: $x \geq 0$ là một bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Phương trình thứ tư: $y \geq 0$ là một bất phương trình bậc nhất một ẩn. Như vậy, trong các hệ đã cho, hệ B là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, còn lại đều là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc một ẩn. Do đó, đáp án đúng là: B. $\left\{\begin{array}lx+5y-9=0\\4x-7y+3=0\end{array}\right.$ Câu 3: Phần không bị gạch trong hình vẽ minh họa cho một tập con của tập số thực R. Chúng ta cần xác định tập đó là tập nào. Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng phần không bị gạch nằm giữa hai điểm -3 và 3, nhưng không bao gồm điểm -3 và 3. Điều này có nghĩa là tập con này bao gồm tất cả các số thực ngoại trừ các số từ -3 đến 3 (không bao gồm -3 và 3). Do đó, tập con này có thể được viết dưới dạng: \[ \mathbb{R} \setminus (-3, 3) \] Vậy đáp án đúng là: D. $\mathbb{R} \setminus (-3, 3)$ Câu 4: Để viết số $\pi$ (xấp xỉ bằng 3,14159...) quy tròn đến hàng phần nghìn, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định chữ số ở hàng phần nghìn: Chữ số ở hàng phần nghìn của $\pi$ là 1 (số 1 trong 3,141). 2. Xác định chữ số liền kề bên phải (hàng phần chục nghìn): Chữ số liền kề bên phải của chữ số hàng phần nghìn là 5 (số 5 trong 3,1415). 3. Áp dụng quy tắc quy tròn: - Nếu chữ số liền kề bên phải (hàng phần chục nghìn) lớn hơn hoặc bằng 5, ta làm tròn lên. - Nếu chữ số liền kề bên phải (hàng phần chục nghìn) nhỏ hơn 5, ta làm tròn xuống. Trong trường hợp này, chữ số liền kề bên phải là 5, do đó ta làm tròn lên. 4. Kết quả sau khi quy tròn: - Chữ số hàng phần nghìn là 1, ta làm tròn lên thành 2. Vậy, số $\pi$ quy tròn đến hàng phần nghìn là 3,142. Do đó, đáp án đúng là: D. 3,142. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu về các giá trị lượng giác của góc tù. Góc tù là góc nằm trong khoảng từ 90° đến 180°. Trong nửa đường tròn đơn vị, góc tù nằm ở góc phần tư thứ hai. Các giá trị lượng giác của góc tù trong góc phần tư thứ hai là: - $\sin \alpha > 0$ vì tọa độ y của điểm trên đường tròn đơn vị là dương. - $\cos \alpha < 0$ vì tọa độ x của điểm trên đường tròn đơn vị là âm. - $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ vì $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$. - $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$ vì $\cos \alpha < 0$ và $\sin \alpha > 0$. Do đó, các khẳng định đúng là: C. $\tan \alpha < 0$. D. $\cot \alpha < 0$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có một khẳng định đúng là: D. $\cot \alpha < 0$. Vậy đáp án đúng là: D. $\cot \alpha < 0$. Câu 6: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ Theo tính chất của sin trong góc phần tư I và II: - $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ Do đó, khẳng định này là đúng. B. $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ Theo tính chất của cos trong góc phần tư I và II: - $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ Do đó, khẳng định này là sai. C. $\tan(180^\circ - \alpha) = \tan \alpha$ Theo tính chất của tan trong góc phần tư I và II: - $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ Do đó, khẳng định này là sai. D. $\cot(180^\circ - \alpha) = \cot \alpha$ Theo tính chất của cot trong góc phần tư I và II: - $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$ Do đó, khẳng định này là sai. Vậy khẳng định đúng là: A. $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ Câu 7: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong lục giác đều ABCDEF, các cạnh đều bằng nhau và các góc đều bằng nhau. Ta sẽ kiểm tra từng vectơ để xem chúng có bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ hay không. 1. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{OF}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{OF}$ không bằng $\overrightarrow{BA}$ vì $\overrightarrow{OF}$ là vectơ từ tâm O đến đỉnh F, còn $\overrightarrow{BA}$ là vectơ từ đỉnh B đến đỉnh A. 2. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{DE}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{DE}$ là vectơ từ đỉnh D đến đỉnh E. Vì lục giác đều nên $\overrightarrow{DE}$ sẽ bằng $\overrightarrow{BA}$ vì chúng đều là các cạnh của lục giác đều. 3. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{OC}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{OC}$ là vectơ từ tâm O đến đỉnh C. Điều này không giống với $\overrightarrow{BA}$ vì $\overrightarrow{BA}$ là vectơ giữa hai đỉnh của lục giác, không liên quan đến tâm O. 4. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{CA}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh A. Điều này không giống với $\overrightarrow{BA}$ vì chúng không cùng hướng và không cùng độ dài. 5. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{FO}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{FO}$ là vectơ từ đỉnh F đến tâm O. Điều này không giống với $\overrightarrow{BA}$ vì $\overrightarrow{FO}$ là vectơ từ đỉnh đến tâm, không liên quan đến cạnh của lục giác. 6. Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{CO}$: - Trong lục giác đều, $\overrightarrow{CO}$ là vectơ từ đỉnh C đến tâm O. Điều này không giống với $\overrightarrow{BA}$ vì $\overrightarrow{CO}$ là vectơ từ đỉnh đến tâm, không liên quan đến cạnh của lục giác. Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng chỉ có vectơ $\overrightarrow{DE}$ là bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{FO};\overrightarrow{DE};\overrightarrow{OC}.$ Nhưng trong các lựa chọn đã cho, chỉ có $\overrightarrow{DE}$ là đúng, do đó đáp án chính xác là: B. $\overrightarrow{CA};\overrightarrow{OF};\overrightarrow{DE}.$ Câu 8: Để tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 > x + 7$, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Phủ định của lượng từ toàn thể ($\forall$): - Mệnh đề ban đầu có dạng $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 > x + 7$. - Phủ định của $\forall$ là $\exists$ (tồn tại). 2. Phủ định của bất đẳng thức: - Bất đẳng thức trong mệnh đề ban đầu là $x^2 > x + 7$. - Phủ định của $x^2 > x + 7$ là $x^2 \leq x + 7$. Kết hợp hai bước trên, mệnh đề phủ định của $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 > x + 7$ là $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 \leq x + 7$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 \leq x + 7$. Câu 9: Áp dụng định lý余弦定理，我们可以求出边b的长度。 在三角形ABC中，已知$a=8$，$c=3$，$\widehat{B}=60^\circ$。根据余弦定理： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] 代入已知值： \[ b^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ \] 我们知道$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，所以： \[ b^2 = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = 64 + 9 - 24 \] \[ b^2 = 49 \] 因此： \[ b = \sqrt{49} \] \[ b = 7 \] 所以，边b的长度是7。 答案是：D. 7。 Câu 10: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng \( ax + by > c \), \( ax + by < c \), \( ax + by \geq c \), hoặc \( ax + by \leq c \), trong đó \( a \), \( b \), và \( c \) là các hằng số, và \( x \) và \( y \) là các ẩn số. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( 2x + y \leq 5 \) - Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \( ax + by \leq c \). B. \( 2x^2 + 5y^2 > 3 \) - Đây là bất phương trình bậc hai hai ẩn vì có các hạng tử \( x^2 \) và \( y^2 \). C. \( 2x^2 + 3x + 1 > 0 \) - Đây là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có các hạng tử \( x^2 \) và \( x \). D. \( 2x + 5y - 3z > 0 \) - Đây là bất phương trình bậc nhất ba ẩn vì có ba biến số \( x \), \( y \), và \( z \). Vậy, bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: A. \( 2x + y \leq 5 \) Đáp án đúng là: A. \( 2x + y \leq 5 \). Câu 12: Để tính góc $\widehat{BAC}$, ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và công thức tính góc dựa trên các vectơ. 1. Tính khoảng cách AB, AC và BC: - Khoảng cách AB: \[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Khoảng cách AC: \[ AC = \sqrt{(5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - Khoảng cách BC: \[ BC = \sqrt{(5-4)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] 2. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (4-1, 1-2) = (3, -1) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (5-1, 4-2) = (4, 2) \] 3. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 4 + (-1) \times 2 = 12 - 2 = 10 \] 4. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Độ dài $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Độ dài $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 5. Áp dụng công thức cosin để tính góc $\widehat{BAC}$: \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{AC}|} = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \times 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. Xác định góc $\widehat{BAC}$: \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{BAC} = 45^\circ \] Vậy góc $\widehat{BAC}$ là $45^\circ$. Đáp án đúng là B. $45^\circ$.