Giúp mình với

Câu 1: Trước tiên, ta biết rằng $\cot\alpha = -5$ và góc $\alpha$ nằm trong khoảng $(90^\circ, 180^\circ)$. Điều này có nghĩa là $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai, nơi mà $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$. a) Ta có: \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -5 \] Do đó: \[ \tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = -\frac{1}{5} \] Mệnh đề a) sai vì $\tan\alpha = -\frac{1}{5}$, không phải 6. b) Ta biết rằng: \[ \cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha \] \[ (-5)^2 + 1 = \csc^2\alpha \] \[ 25 + 1 = \csc^2\alpha \] \[ 26 = \csc^2\alpha \] \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{\csc^2\alpha} = \frac{1}{26} \] Mệnh đề b) đúng. c) Ta cần tính $P = \cos\alpha + 4\sin\alpha$. Trước tiên, ta tìm $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$. Biết rằng: \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{26} \] \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \] Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ hai, $\cos\alpha$ sẽ là âm: \[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{26} = \frac{25}{26} \] \[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}} \] Bây giờ, ta tính $P$: \[ P = \cos\alpha + 4\sin\alpha = -\frac{5}{\sqrt{26}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}} + \frac{4}{\sqrt{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} \] Vì $-\frac{1}{\sqrt{26}}$ là số âm, nên mệnh đề c) đúng. d) Ta cần tính $T = \frac{\tan(90^\circ - \alpha) + \cos^2\alpha}{\sin(180^\circ - \alpha)}$. Ta biết rằng: \[ \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha = -5 \] \[ \cos^2\alpha = \frac{25}{26} \] \[ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}} \] Bây giờ, ta tính $T$: \[ T = \frac{-5 + \frac{25}{26}}{\frac{1}{\sqrt{26}}} = \frac{-5 + \frac{25}{26}}{\frac{1}{\sqrt{26}}} = \frac{-\frac{130}{26} + \frac{25}{26}}{\frac{1}{\sqrt{26}}} = \frac{-\frac{105}{26}}{\frac{1}{\sqrt{26}}} = -\frac{105}{26} \cdot \sqrt{26} = -\frac{105}{\sqrt{26}} \] Mệnh đề d) đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số lượng trẻ em tham gia các hoạt động. 1. Tổng số trẻ em: 50 em. 2. Trẻ em tham gia vẽ tranh: 30 em. 3. Trẻ em tham gia chơi nhạc cụ: 25 em. 4. Trẻ em tham gia cả hai hoạt động: 10 em. Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán từng phần: - Số trẻ em chỉ tham gia vẽ tranh: Số trẻ em chỉ tham gia vẽ tranh là: \[ 30 - 10 = 20 \text{ em} \] - Số trẻ em chỉ tham gia chơi nhạc cụ: Số trẻ em chỉ tham gia chơi nhạc cụ là: \[ 25 - 10 = 15 \text{ em} \] - Số trẻ em tham gia vào hoạt động chính: Số trẻ em tham gia vào ít nhất một hoạt động chính là: \[ 20 + 10 + 15 = 45 \text{ em} \] - Số trẻ em không tham gia vào hoạt động chính: Số trẻ em không tham gia vào bất kỳ hoạt động nào là: \[ 50 - 45 = 5 \text{ em} \] - Số trẻ em tham gia chỉ một hoạt động chính: Số trẻ em tham gia chỉ một hoạt động chính là: \[ 20 + 15 = 35 \text{ em} \] Như vậy, các đáp án đúng là: a) Số trẻ em chỉ tham gia vẽ tranh là 20 em. b) Số trẻ em tham gia vào hoạt động chính là 45 em. c) Số trẻ em không tham gia vào hoạt động chính là 5 em. d) Số trẻ em tham gia chỉ một hoạt động chính là 35 em. Đáp án: a) 20 em b) 45 em c) 5 em d) 35 em Câu 3: a) Đúng vì tất cả các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) Thay tọa độ của điểm A vào (1) ta được $-1+2\times (-1)>-3$ hay $-3>-3$ (loại) Thay tọa độ của điểm B vào (1) ta được $-2+2\times 0>-3$ hay $-2>-3$ (chọn) Thay tọa độ của điểm C vào (1) ta được $-(-2)+2\times 3>-3$ hay $8>-3$ (chọn) Vậy trong 3 điểm $A(1;-1),~B(2;0),~C(-2;3)$ có 2 điểm nằm trong miền nghiệm của hệ (I). c) Đúng vì miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\leq6~(2)$ là phần nửa mặt phẳng được tô màu (kể cả bờ là đường thẳng b ) trong hình vẽ dưới đây: d) Xét phương trình $-x+2y=-3$ và $2x+y=6$ ta có: $-x+2y=-3$ (nhân cả 2 vế với 2) $-2x+4y=-6$ (1) $2x+y=6$ (nhân cả 2 vế với 1) $2x+y=6$ (2) Lấy (1) cộng với (2) ta được $5y=0$ hay $y=0$. Thay vào (2) ta được $x=3$. Vậy giao điểm của 2 đường thẳng là $D(3;0)$. Diện tích của tam giác là $\frac{1}{2}\times 3\times 6=9$. Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) Góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ là góc nhọn. - Theo đề bài, góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $30^\circ$, đây là góc nhọn. Do đó, lựa chọn này đúng. b) Góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_2}$ là góc vuông. - Ta biết rằng góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $45^\circ$. Vì $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tạo thành góc $30^\circ$, nên góc giữa $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_2}$ sẽ là: \[ 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \] - Góc $75^\circ$ không phải là góc vuông. Do đó, lựa chọn này sai. c) $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} > |\overrightarrow{F_3}|$ - Tích vô hướng của hai véctơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là: \[ \overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = |\overrightarrow{F_1}| \cdot |\overrightarrow{F_2}| \cdot \cos(30^\circ) \] \[ = 15 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = 45\sqrt{3} \approx 77.94 \text{ N}^2 \] - Độ lớn của $\overrightarrow{F_3}$ là 8 N. - So sánh: \[ 77.94 > 8 \] Do đó, lựa chọn này đúng. d) Độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị) bằng 26 N. - Để tính độ lớn lực tổng hợp, ta cần sử dụng phương pháp hình học hoặc đại số. Tuy nhiên, do không có thông tin chi tiết về hướng của các lực, ta sẽ sử dụng phương pháp đại số để tính tổng hợp các lực. - Ta có: \[ \overrightarrow{F_{total}} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} \] - Ta sẽ tách mỗi lực thành các thành phần theo hai phương vuông góc (ví dụ: phương x và phương y): \[ \overrightarrow{F_1} = 15 \hat{i} \] \[ \overrightarrow{F_2} = 6 \cos(30^\circ) \hat{i} + 6 \sin(30^\circ) \hat{j} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + 6 \cdot \frac{1}{2} \hat{j} = 3\sqrt{3} \hat{i} + 3 \hat{j} \] \[ \overrightarrow{F_3} = 8 \cos(45^\circ) \hat{i} - 8 \sin(45^\circ) \hat{j} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} - 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} = 4\sqrt{2} \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j} \] - Tổng hợp các thành phần: \[ F_{x} = 15 + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{2} \] \[ F_{y} = 3 - 4\sqrt{2} \] - Độ lớn lực tổng hợp: \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{(F_x)^2 + (F_y)^2} \] \[ = \sqrt{(15 + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{2})^2 + (3 - 4\sqrt{2})^2} \] - Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ |\overrightarrow{F_{total}}| \approx 26 \text{ N} \] Do đó, lựa chọn này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng