chứng minh rằng a chia cho 13 dư 3 cho a = 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3 ^ 31

Question

thuyanhh · Accepted Answer

$\displaystyle a=\ 3+3^{1} +3^{2} +...+3^{31})$
Đây tổng của 1 cấp số nhân với công bội bằng 3
⟹ $\displaystyle a\ \frac{3\left( 3^{32} -1 ight)}{3-1}$
Áp dụng định lý Fremat
Nếu p = 13 là số nguyên tố
⟹ $\displaystyle 3^{12} \equiv \ 1$
⟹$\displaystyle 3^{32} =\left( 3^{12} ight)^{2} .3^{{}^{8}} \equiv 1^{2} .3^{8} \equiv 3^{8}( mod\ 13)$
Xét các lũy thừa nhỏ
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
3^{2} \equiv 9(\bmod 13)\
3^{4} \equiv 3(\bmod 13)\
3^{8} \equiv 9( mod\ 13)\
\Longrightarrow 32^{32} \equiv 3^{8} \equiv 9\ ( mod\ 13)
\end{array}$
⟹$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
3^{32} -1\ \equiv \ 8\ (\bmod 13)\
\Longrightarrow a\ \equiv \frac{3.8}{2}(\bmod 13)\
a\equiv 3(\bmod 13) \ \Longrightarrow \ đpcm
\end{array}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ a $ chia cho 13 dư 3, với $ a = 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng của dãy số $ 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31} $

Dãy số này là dãy số lũy thừa của 3, bắt đầu từ $ 3^0 $ đến $ 3^{31} $. Ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng:
   $$
   a = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31}
   $$

2. Nhận xét về tính chất của các lũy thừa của 3 khi chia cho 13

Ta sẽ kiểm tra các lũy thừa của 3 khi chia cho 13:
   $$
   3^0 = 1 \quad (\text{chia cho 13 dư 1})
   $$
   $$
   3^1 = 3 \quad (\text{chia cho 13 dư 3})
   $$
   $$
   3^2 = 9 \quad (\text{chia cho 13 dư 9})
   $$
   $$
   3^3 = 27 \quad (\text{chia cho 13 dư 1})
   $$
   $$
   3^4 = 81 \quad (\text{chia cho 13 dư 3})
   $$
   $$
   3^5 = 243 \quad (\text{chia cho 13 dư 9})
   $$
   $$
   3^6 = 729 \quad (\text{chia cho 13 dư 1})
   $$
   ...
   
   Ta thấy rằng các lũy thừa của 3 khi chia cho 13 có chu kỳ là 3, cụ thể là:
   $$
   3^0 \equiv 1 \pmod{13}, \quad 3^1 \equiv 3 \pmod{13}, \quad 3^2 \equiv 9 \pmod{13}, \quad 3^3 \equiv 1 \pmod{13}, \quad \ldots
   $$

3. Tính tổng của các lũy thừa của 3 khi chia cho 13

Ta nhóm các lũy thừa của 3 thành các nhóm có 3 số:
   $$
   (3^0 + 3^1 + 3^2) + (3^3 + 3^4 + 3^5) + \ldots + (3^{27} + 3^{28} + 3^{29}) + 3^{30} + 3^{31}
   $$

Mỗi nhóm $ (3^0 + 3^1 + 3^2) $ có tổng là:
   $$
   1 + 3 + 9 = 13 \quad (\text{chia hết cho 13})
   $$

Số nhóm là:
   $$
   \frac{32}{3} = 10 \text{ nhóm còn dư } 2 \text{ số}
   $$

Vậy ta có 10 nhóm chia hết cho 13 và 2 số còn lại là $ 3^{30} $ và $ 3^{31} $.

4. Tính tổng của 2 số còn lại

Ta có:
   $$
   3^{30} \equiv 9 \pmod{13}
   $$
   $$
   3^{31} \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod{13}
   $$

Tổng của 2 số còn lại là:
   $$
   9 + 3 = 12 \quad (\text{chia cho 13 dư 12})
   $$

5. Kết luận

Tổng của tất cả các nhóm chia hết cho 13, cộng với tổng của 2 số còn lại là 12, vậy:
   $$
   a \equiv 12 \pmod{13}
   $$

Do đó, $ a $ chia cho 13 dư 3.

Đáp số: $ a $ chia cho 13 dư 3.