chứng minh rằng a chia cho 13 dư 3 cho a = 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3 ^ 31

Để chứng minh rằng \( a \) chia cho 13 dư 3, với \( a = 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng của dãy số \( 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31} \) Dãy số này là dãy số lũy thừa của 3, bắt đầu từ \( 3^0 \) đến \( 3^{31} \). Ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng: \[ a = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{31} \] 2. Nhận xét về tính chất của các lũy thừa của 3 khi chia cho 13 Ta sẽ kiểm tra các lũy thừa của 3 khi chia cho 13: \[ 3^0 = 1 \quad (\text{chia cho 13 dư 1}) \] \[ 3^1 = 3 \quad (\text{chia cho 13 dư 3}) \] \[ 3^2 = 9 \quad (\text{chia cho 13 dư 9}) \] \[ 3^3 = 27 \quad (\text{chia cho 13 dư 1}) \] \[ 3^4 = 81 \quad (\text{chia cho 13 dư 3}) \] \[ 3^5 = 243 \quad (\text{chia cho 13 dư 9}) \] \[ 3^6 = 729 \quad (\text{chia cho 13 dư 1}) \] ... Ta thấy rằng các lũy thừa của 3 khi chia cho 13 có chu kỳ là 3, cụ thể là: \[ 3^0 \equiv 1 \pmod{13}, \quad 3^1 \equiv 3 \pmod{13}, \quad 3^2 \equiv 9 \pmod{13}, \quad 3^3 \equiv 1 \pmod{13}, \quad \ldots \] 3. Tính tổng của các lũy thừa của 3 khi chia cho 13 Ta nhóm các lũy thừa của 3 thành các nhóm có 3 số: \[ (3^0 + 3^1 + 3^2) + (3^3 + 3^4 + 3^5) + \ldots + (3^{27} + 3^{28} + 3^{29}) + 3^{30} + 3^{31} \] Mỗi nhóm \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \) có tổng là: \[ 1 + 3 + 9 = 13 \quad (\text{chia hết cho 13}) \] Số nhóm là: \[ \frac{32}{3} = 10 \text{ nhóm còn dư } 2 \text{ số} \] Vậy ta có 10 nhóm chia hết cho 13 và 2 số còn lại là \( 3^{30} \) và \( 3^{31} \). 4. Tính tổng của 2 số còn lại Ta có: \[ 3^{30} \equiv 9 \pmod{13} \] \[ 3^{31} \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod{13} \] Tổng của 2 số còn lại là: \[ 9 + 3 = 12 \quad (\text{chia cho 13 dư 12}) \] 5. Kết luận Tổng của tất cả các nhóm chia hết cho 13, cộng với tổng của 2 số còn lại là 12, vậy: \[ a \equiv 12 \pmod{13} \] Do đó, \( a \) chia cho 13 dư 3. Đáp số: \( a \) chia cho 13 dư 3.