giải toán chính xác

Câu 4: Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) - Tìm điểm giao với trục \( y \): Thay \( x = 0 \): \[ y = \frac{2(0) + 1}{0 + 1} = 1 \] Điểm giao với trục \( y \) là \( (0, 1) \). - Tìm điểm giao với trục \( x \): Thay \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{2x + 1}{x + 1} \] Điều này xảy ra khi \( 2x + 1 = 0 \), tức là \( x = -\frac{1}{2} \). Điểm giao với trục \( x \) là \( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \). - Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \] Vậy đường thẳng \( y = 2 \) là đường tiệm cận ngang. - Xét giới hạn khi \( x \to -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{2x + 1}{x + 1} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{2x + 1}{x + 1} = +\infty \] Vậy đường thẳng \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng. B. \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Tìm điểm giao với trục \( y \): Thay \( x = 0 \): \[ y = 0^3 - 3(0) - 1 = -1 \] Điểm giao với trục \( y \) là \( (0, -1) \). - Tìm điểm giao với trục \( x \): Thay \( y = 0 \): \[ 0 = x^3 - 3x - 1 \] Phương trình này khó giải trực tiếp, nhưng ta có thể thấy rằng nó có ba nghiệm thực. - Xét đạo hàm để tìm cực trị: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Ta có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). C. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) - Tìm điểm giao với trục \( y \): Thay \( x = 0 \): \[ y = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = -1 \] Điểm giao với trục \( y \) là \( (0, -1) \). - Tìm điểm giao với trục \( x \): Thay \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{2x - 1}{x + 1} \] Điều này xảy ra khi \( 2x - 1 = 0 \), tức là \( x = \frac{1}{2} \). Điểm giao với trục \( x \) là \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \). - Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \] Vậy đường thẳng \( y = 2 \) là đường tiệm cận ngang. - Xét giới hạn khi \( x \to -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 1}{x + 1} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{2x - 1}{x + 1} = +\infty \] Vậy đường thẳng \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng. D. \( y = \frac{2x^2 + 3x + 2}{x + 1} \) - Tìm điểm giao với trục \( y \): Thay \( x = 0 \): \[ y = \frac{2(0)^2 + 3(0) + 2}{0 + 1} = 2 \] Điểm giao với trục \( y \) là \( (0, 2) \). - Tìm điểm giao với trục \( x \): Thay \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{2x^2 + 3x + 2}{x + 1} \] Điều này xảy ra khi \( 2x^2 + 3x + 2 = 0 \). Phương trình này không có nghiệm thực. - Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 3x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 3 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2x \] Vậy đường thẳng \( y = 2x \) là đường tiệm cận chéo. - Xét giới hạn khi \( x \to -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 3x + 2}{x + 1} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 3x + 2}{x + 1} = +\infty \] Vậy đường thẳng \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) có các tính chất phù hợp với đồ thị trong hình, bao gồm đường tiệm cận ngang \( y = 2 \), đường tiệm cận đứng \( x = -1 \), và các điểm giao với trục \( y \) và \( x \). Đáp án đúng là: C. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \)