Giải chi tiết ạ và chính xác

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích phần bị cắt từ tấm bạt hình vuông. 2. Tìm thể tích của khối chóp hình thành sau khi gập và may lại. 3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp để đảm bảo yêu cầu phủ kín tháp đèn. Bước 1: Xác định diện tích phần bị cắt từ tấm bạt hình vuông. Diện tích tấm bạt hình vuông ban đầu là: \[ S_{\text{ban đầu}} = 20 \times 20 = 400 \, \text{m}^2 \] Phần bị cắt là một hình vuông nhỏ hơn, cạnh của nó là \( x \). Diện tích phần bị cắt là: \[ S_{\text{cắt}} = x^2 \] Bước 2: Tìm thể tích của khối chóp hình thành sau khi gập và may lại. Khối chóp hình thành sau khi gập và may lại có đáy là hình vuông cạnh \( 20 - 2x \) và chiều cao \( x \). Thể tích của khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] \[ V = \frac{1}{3} \times (20 - 2x)^2 \times x \] \[ V = \frac{1}{3} \times (400 - 80x + 4x^2) \times x \] \[ V = \frac{1}{3} \times (400x - 80x^2 + 4x^3) \] \[ V = \frac{400x - 80x^2 + 4x^3}{3} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp. Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm. Tính đạo hàm của \( V \): \[ V' = \frac{d}{dx} \left( \frac{400x - 80x^2 + 4x^3}{3} \right) \] \[ V' = \frac{1}{3} \times (400 - 160x + 12x^2) \] \[ V' = \frac{400 - 160x + 12x^2}{3} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ \frac{400 - 160x + 12x^2}{3} = 0 \] \[ 400 - 160x + 12x^2 = 0 \] \[ 12x^2 - 160x + 400 = 0 \] \[ 3x^2 - 40x + 100 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 3 \times 100}}{2 \times 3} \] \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{6} \] \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{6} \] \[ x = \frac{40 \pm 20}{6} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{60}{6} = 10 \] \[ x_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \] Ta kiểm tra điều kiện \( 0 < x < 10 \) (vì nếu \( x \geq 10 \), cạnh đáy sẽ âm hoặc bằng 0). Do đó, giá trị \( x = \frac{10}{3} \) là hợp lý. Diện tích phần bị cắt là: \[ S_{\text{cắt}} = \left( \frac{10}{3} \right)^2 = \frac{100}{9} \, \text{m}^2 \] Đáp số: Phần diện tích tấm bạt bị cắt là \( \frac{100}{9} \, \text{m}^2 \).