Giup tôi bới

Câu 1. a) Đồ thị (C) đi qua điểm $(0;\frac12)$: - Thay $x = 0$ vào hàm số $y = \frac{ax + 1}{x + 1}$ ta được $y = \frac{a \cdot 0 + 1}{0 + 1} = 1$. - Vậy điểm $(0; \frac{1}{2})$ không thuộc đồ thị (C). - Kết luận: Đáp án này sai. b) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là $y = 2$: - Tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{ax + 1}{x + 1}$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. - Ta có $\lim_{x \to \infty} \frac{ax + 1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{a + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = a$. - Để tiệm cận ngang là $y = 2$, ta cần $a = 2$. - Kết luận: Đáp án này đúng nếu $a = 2$. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[3;5]$ bằng 3: - Ta xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ trên đoạn $[3;5]$. - Tính đạo hàm: $y' = \frac{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} > 0$. - Vì $y' > 0$ trên đoạn $[3;5]$, hàm số đồng biến trên đoạn này. - Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[3;5]$ là tại $x = 3$: $y(3) = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 + 1} = \frac{7}{4}$. - Kết luận: Đáp án này sai. d) Hàm số có công thức là: $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$: - Từ phần b), ta đã xác định rằng để đồ thị (C) có tiệm cận ngang là $y = 2$, thì $a = 2$. - Vậy hàm số có công thức là $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$. - Kết luận: Đáp án này đúng. Đáp án đúng là d) $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$. Câu 2. a) Tứ phân vị thứ nhất là giá trị chia dãy số thành hai phần, mỗi phần có số lượng dữ liệu bằng nhau. Ta tính tổng số học sinh là: \[ 5 + 15 + 18 + 11 + 8 + 3 = 60 \] Tứ phân vị thứ nhất nằm ở vị trí: \[ \frac{60}{4} = 15 \] Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm có tổng số học sinh từ 1 đến 15, tức là nhóm [20;40). b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ R = 120 - 0 = 120 \] c) Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta cần biết giá trị trung bình và giá trị đại diện của mỗi nhóm. Ta tính giá trị trung bình như sau: \[ \bar{x} = \frac{(10 \times 5) + (30 \times 15) + (50 \times 18) + (70 \times 11) + (90 \times 8) + (110 \times 3)}{60} \] \[ \bar{x} = \frac{50 + 450 + 900 + 770 + 720 + 330}{60} \] \[ \bar{x} = \frac{3220}{60} \approx 53.67 \] Tiếp theo, ta tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{6} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times (10 - 53.67)^2) + (15 \times (30 - 53.67)^2) + (18 \times (50 - 53.67)^2) + (11 \times (70 - 53.67)^2) + (8 \times (90 - 53.67)^2) + (3 \times (110 - 53.67)^2)}{60} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times (-43.67)^2) + (15 \times (-23.67)^2) + (18 \times (-3.67)^2) + (11 \times 16.33^2) + (8 \times 36.33^2) + (3 \times 56.33^2)}{60} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times 1906.5689) + (15 \times 560.2689) + (18 \times 13.4769) + (11 \times 266.6689) + (8 \times 1319.4689) + (3 \times 3173.0689)}{60} \] \[ s^2 = \frac{9532.8445 + 8404.0335 + 242.5842 + 2933.3579 + 10555.7512 + 9519.2067}{60} \] \[ s^2 = \frac{31287.778}{60} \approx 521.46 \] d) Giá trị đại diện của nhóm [40;60) là: \[ \frac{40 + 60}{2} = 50 \] Đáp án đúng là d) Giá trị đại diện của nhóm [40;60) là 50. Câu 3. a) Tính $\overrightarrow{AC}$ và độ dài $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4-2, 5-1, 1+2) = (2, 4, 3) \] Độ dài $\overrightarrow{AC}$ là: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \] b) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $BC$: \[ I = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{-1 + 5}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 2, 1 \right) \] c) Tính $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1-2, -1-1, 1+2) = (-1, -2, 3) \] d) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) = \left( \frac{2 + 1 + 4}{3}, \frac{1 - 1 + 5}{3}, \frac{-2 + 1 + 1}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3}, 0 \right) \] Tọa độ $G$ là $\left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3}, 0 \right)$, vậy $a = \frac{7}{3}$, $b = \frac{5}{3}$, $c = 0$. Ta có: \[ a + b + c = \frac{7}{3} + \frac{5}{3} + 0 = \frac{12}{3} = 4 \] Đáp số: a) $\overrightarrow{AC} = (2, 4, 3)$, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{29}$ b) $I = \left( \frac{5}{2}, 2, 1 \right)$ c) $\overrightarrow{AB} = (-1, -2, 3)$ d) $a + b + c = 4$ Câu 4. Để giải quyết phần a) của bài toán, chúng ta cần tính giá trị của hàm số chi phí \( C(x) \) tại \( x = 50 \). Hàm số chi phí được cho là: \[ C(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + 8x + 80 \] Bước 1: Thay \( x = 50 \) vào hàm số \( C(x) \): \[ C(50) = \frac{1}{2}(50)^3 - 3(50)^2 + 8(50) + 80 \] Bước 2: Tính từng thành phần: \[ (50)^3 = 125000 \] \[ \frac{1}{2}(125000) = 62500 \] \[ (50)^2 = 2500 \] \[ 3(2500) = 7500 \] \[ 8(50) = 400 \] Bước 3: Kết hợp tất cả các thành phần lại: \[ C(50) = 62500 - 7500 + 400 + 80 \] Bước 4: Thực hiện phép tính cộng trừ: \[ 62500 - 7500 = 55000 \] \[ 55000 + 400 = 55400 \] \[ 55400 + 80 = 55480 \] Vậy, chi phí để sản xuất 50 đơn vị hàng hóa là: \[ C(50) = 55480 \text{ (nghìn đồng)} \] Đáp số: \( C(50) = 55480 \text{ (nghìn đồng)} \).