giup minh voi

Câu 1. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{A^\prime}$ sẽ bằng vectơ của một đoạn thẳng song song và bằng nó. Ta xét các lựa chọn: - A. $~\overrightarrow{BC}$: Đây là vectơ nằm trên mặt đáy của lăng trụ, không song song với $\overrightarrow{A^\prime}$. - B. $~\overrightarrow{C'C}$: Đây là vectơ từ đỉnh C' xuống C, không song song với $\overrightarrow{A^\prime}$. - C. $~\overrightarrow{CC'}$: Đây là vectơ từ đỉnh C lên C', song song và bằng $\overrightarrow{A^\prime}$. - D. $~\overrightarrow{B^\prime B}$: Đây là vectơ từ đỉnh B' xuống B, không song song với $\overrightarrow{A^\prime}$. Như vậy, vectơ $\overrightarrow{A^\prime}$ sẽ bằng vectơ $~\overrightarrow{CC'}$. Đáp án đúng là: C. $~\overrightarrow{CC'}$. Câu 2. Để xác định tọa độ đỉnh M của hình chữ nhật OKMN trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta cần dựa vào các thông tin về các đỉnh khác của hình chữ nhật và các cạnh của nó. Giả sử ta biết tọa độ của các đỉnh K và N: - Đỉnh O có tọa độ (0, 0, 0). - Đỉnh K có tọa độ (1, 0, 0). - Đỉnh N có tọa độ (1, 2, 0). Hình chữ nhật OKMN có các cạnh vuông góc với nhau, do đó ta có thể suy ra tọa độ của đỉnh M như sau: - Vì OKMN là hình chữ nhật, cạnh OK song song với trục Ox và có độ dài 1 đơn vị. - Cạnh ON song song với trục Oy và có độ dài 2 đơn vị. - Cạnh KN song song với trục Oz và có độ dài 2 đơn vị. Do đó, đỉnh M sẽ có tọa độ là (1, 2, 2). Vậy tọa độ đỉnh M của hình chữ nhật là: C. \( M(1;2;2) \) Đáp án đúng là: C. \( M(1;2;2) \) Câu 3. Để xác định vector $\overrightarrow{OM}$ từ điểm gốc O đến điểm M(1;2;3), ta sử dụng công thức vector vị trí của điểm M trong không gian Oxyz. Vector $\overrightarrow{OM}$ được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \] Trong đó, (x, y, z) là tọa độ của điểm M. Với điểm M(1;2;3), ta có: \[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \] Do đó, vector $\overrightarrow{OM}$ là: \[ \overrightarrow{OM} = 1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: A. $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{k} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{i}$ B. $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ C. $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}$ D. $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ Ta nhận thấy rằng lựa chọn B gần đúng nhất với kết quả trên, nhưng có dấu trừ ở phần $\overrightarrow{j}$, do đó không chính xác. Ta cần kiểm tra lại các lựa chọn khác. Lựa chọn A, C và D đều không chính xác vì chúng không tuân theo tọa độ của điểm M. Do đó, khẳng định đúng là: \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng hoàn toàn. Tuy nhiên, nếu phải chọn một trong các lựa chọn đã cho, ta sẽ chọn B vì nó gần đúng nhất, mặc dù vẫn chưa chính xác hoàn toàn. Đáp án: B. $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ (nhưng không chính xác hoàn toàn). Câu 4. Để tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 0, 1 - 1, 1 + 2) = (3, 0, 3) \] 2. Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AM} = 3 \cdot \overrightarrow{AB} = 3 \cdot (3, 0, 3) = (9, 0, 9) \] 3. Tìm tọa độ điểm M: \[ M = A + \overrightarrow{AM} = (0, 1, -2) + (9, 0, 9) = (9, 1, 7) \] Vậy tọa độ điểm M là $(9, 1, 7)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $~M(9, 1, 7)$ Câu 5. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó, $\overrightarrow u = (u_x, u_y, u_z)$ và $\overrightarrow v = (v_x, v_y, v_z)$. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \overrightarrow u = (1, 0, -1) \] \[ \overrightarrow v = (2, 1, -2) \] Bây giờ, ta thực hiện phép nhân từng thành phần và cộng lại: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \] \[ = 2 + 0 + 2 \] \[ = 4 \] Vậy, tích vô hướng $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$ là 4. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 6. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm $M$ từ tọa độ của điểm $N$. Tọa độ của điểm $M$ là $(3; 2; 0)$ và tọa độ của điểm $N$ là $(2; 4; 1)$. Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y, N_z - M_z) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức trên: \[ \overrightarrow{MN} = (2 - 3, 4 - 2, 1 - 0) = (-1, 2, 1) \] Như vậy, tọa độ của $\overrightarrow{MN}$ là $(-1; 2; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $~(1; 6; -1)$ (sai) Đáp án đúng là: A. $~(-1; 2; 1)$ Câu 7. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trong khoảng $(2; +\infty)$. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $(0;1)$: Hàm số đồng biến trong khoảng này. - B. $(4;+\infty)$: Hàm số nghịch biến trong khoảng này. - C. $(-\infty;2)$: Hàm số đồng biến trong khoảng này. - D. $(-1;1)$: Hàm số đồng biến trong khoảng này. Do đó, đáp án đúng là: B. $(4;+\infty)$ Đáp số: B. $(4;+\infty)$ Câu 8. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) = x^2 - 3x \) trên đoạn \([0, 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 3 \] 2. Xác định các điểm cực trị trong khoảng mở \((0, 2)\): Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 2x - 3 = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \] 3. Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \] - Tại \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(0) = 0 \) - \( f(2) = -2 \) - \( f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{9}{4} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 3x \) trên đoạn \([0, 2]\) là \( -\frac{9}{4} \), đạt được khi \( x = \frac{3}{2} \). Đáp án đúng là: C. \( -\frac{9}{4} \). Câu 9. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu đã cho. Dải dữ liệu được chia thành các nhóm: - Nhóm $[40;45]$ - Nhóm $[45;50)$ - Nhóm $[50;55]$ - Nhóm $[55;60]$ - Nhóm $[60;65]$ Giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu là 40 (đường kính nhóm đầu tiên). Giá trị lớn nhất trong dải dữ liệu là 65 (đường kính nhóm cuối cùng). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \[ 65 - 40 = 25 \] Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 25. Đáp án đúng là: A. 25. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{C'D'}$. 2. Tìm điều kiện để vectơ $\overrightarrow{n} = (a; b; 3)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{C'D'}$. 3. Giải hệ phương trình để tìm giá trị của $a$ và $b$. 4. Tính tổng $a + b$. Bước 1: Xác định các vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{C'D'}$ - Vectơ $\overrightarrow{CC'}$: \[ \overrightarrow{CC'} = C' - C = (1; -1; 1) - (4; 5; -5) = (-3; -6; 6) \] - Vectơ $\overrightarrow{C'D'}$: \[ \overrightarrow{C'D'} = D' - C' = A' - C' = (1; 0; 1) - (1; -1; 1) = (0; 1; 0) \] Bước 2: Điều kiện để vectơ $\overrightarrow{n} = (a; b; 3)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{C'D'}$ - Điều kiện vuông góc với $\overrightarrow{CC'}$: \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CC'} = 0 \implies a(-3) + b(-6) + 3(6) = 0 \implies -3a - 6b + 18 = 0 \implies -3a - 6b = -18 \implies a + 2b = 6 \] - Điều kiện vuông góc với $\overrightarrow{C'D'}$: \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{C'D'} = 0 \implies a(0) + b(1) + 3(0) = 0 \implies b = 0 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ điều kiện $b = 0$, thay vào phương trình $a + 2b = 6$: \[ a + 2(0) = 6 \implies a = 6 \] Bước 4: Tính tổng $a + b$ \[ a + b = 6 + 0 = 6 \] Vậy, giá trị của $a + b$ là 6.