Giúp mình với! Bài 4. (2,5 điểm) ) Cho tam giác ABC vuông tại A $(ABAC),$ O là,trung điểm của BC, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.,a) Chứng minh: tứ giác ABDC là hình chữ nhật.,b) Qua O kẻ đường thẳng cắt AC và BD lần lượt tại M và N.,CM:CMBN là hình bình hành

Question

Giúp mình với! Bài 4. (2,5 điểm) ) Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB>AC),$ O là,trung điểm của BC, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.,a) Chứng minh: tứ giác ABDC là hình chữ nhật.,b) Qua O kẻ đường thẳng cắt AC và BD lần lượt tại M và N.,CM:CMBN là hình bình hành

Accepted Answer

a. Do D là điểm đối xứng của A qua O nên O là trung điểm của AD
Tứ giác ABDC có 2 đường chéo CB và AD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác ABDC là hình bình hành
Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A nên $\displaystyle \widehat{BAC} =90^{0}$
Hình bình hành ABDC có $\displaystyle \widehat{BAC} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác ABDC là hình chữ nhật
b. Do ABDC là hình chữ nhật $\displaystyle \Rightarrow AC\parallel DB$
Do $\displaystyle AC\parallel DB\Rightarrow \widehat{ACB} =\widehat{CBD}$ (2 góc ở vị trí so le trong)
Do O là trung điểm CB nên $\displaystyle CO=OB$
Xét $\displaystyle \vartriangle COM$ và $\displaystyle \vartriangle BON$ có
$\displaystyle \widehat{OCM} =\widehat{OBN} \ $(do $\displaystyle \widehat{ACB} =\widehat{CBD}$), $\displaystyle CO=BO,\ \widehat{COM} =\widehat{BON}$ (2 góc đối đỉnh)
Suy ra $\displaystyle \vartriangle COM\ =\ \vartriangle BON$ (góc - cạnh - góc)
$\displaystyle \Rightarrow CM=BN$
Tứ giác CMBN có $\displaystyle CM=BN,\ CM\parallel BN$ (do $\displaystyle AC\parallel DB$)
Suy ra tứ giác CMBN là hình bình hành.