Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M;N lần lượt trung điểm AB;AC. Kẻ NH vuông góc CM tại H, kẻ HE vg góc AB tại E. Kẻ AK vg góc CM tại K. Kẻ QK vuông góc HN tại I. Gọi I là điểm di động trên CA, J l...

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của điểm \( I \) trên đoạn \( CA \) và điểm \( J \) trên đoạn \( CB \) sao cho chu vi của tam giác \( BIJ \) là nhỏ nhất. Bước 1: Phân tích bài toán 1. Tam giác ABC vuông cân tại A: Điều này có nghĩa là \( AB = AC \) và góc \( \angle BAC = 90^\circ \). 2. Trung điểm M và N: \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \). 3. Các đường vuông góc: - \( NH \) vuông góc với \( CM \) tại \( H \). - \( HE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \). - \( AK \) vuông góc với \( CM \) tại \( K \). - \( QK \) vuông góc với \( HN \) tại \( I \). 4. Điểm di động: - \( I \) di động trên \( CA \). - \( J \) di động trên \( CB \). Bước 2: Xác định vị trí của \( I \) và \( J \) Để chu vi tam giác \( BIJ \) nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa tổng độ dài các đoạn thẳng \( BI + IJ + JB \). Bước 3: Sử dụng tính chất hình học 1. Tính chất đối xứng: Do tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), các điểm \( I \) và \( J \) cần được chọn sao cho đối xứng qua đường phân giác của góc \( \angle BAC \). 2. Vị trí tối ưu: - Điểm \( I \) nên nằm trên đường phân giác của góc \( \angle BAC \) và gần điểm \( A \) nhất có thể. - Điểm \( J \) cũng nên nằm trên đường phân giác của góc \( \angle BAC \) và gần điểm \( A \) nhất có thể. Bước 4: Kết luận Vị trí của \( I \) và \( J \) để chu vi tam giác \( BIJ \) nhỏ nhất là khi \( I \) và \( J \) trùng với điểm \( A \). Khi đó, tam giác \( BIJ \) trở thành một đoạn thẳng \( BJ \) với \( I \) và \( J \) trùng nhau tại \( A \), và chu vi là độ dài của đoạn thẳng \( BJ \). Như vậy, vị trí của \( I \) và \( J \) để chu vi tam giác \( BIJ \) nhỏ nhất là khi \( I = A \) và \( J = A \).