bhzndfhdijeduffb

Câu 1. Để chuyển đổi số đo của cung tròn từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo bằng độ} = \text{Số đo bằng radian} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Rút gọn biểu thức: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5 \times 180^\circ}{3} = \frac{900^\circ}{3} = 300^\circ \] Vậy số đo bằng độ của cung tròn đó là \(300^\circ\). Đáp án đúng là: A. \(300^\circ\). Câu 2. Để tính giá trị của $\sin(a + b)$, ta sử dụng công thức: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] Trước tiên, ta cần tìm giá trị của $\sin a$ và $\sin b$. Ta biết rằng: \[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \] \[ \cos^2 b + \sin^2 b = 1 \] Từ đó, ta có: \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ \sin a = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] \[ \sin^2 b = 1 - \cos^2 b = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin b = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tìm được vào công thức $\sin(a + b)$: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ \sin(a + b) = \left(\frac{12}{13}\right) \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{5}{13}\right) \left(\frac{4}{5}\right) \] \[ \sin(a + b) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} \] \[ \sin(a + b) = \frac{56}{65} \] Vậy giá trị của $\sin(a + b)$ là $\frac{56}{65}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{56}{65}$. Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x - \frac{\pi}{3}) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu tang không thuộc các giá trị làm cho tang không xác định. Tang không xác định tại các điểm \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 1: Xác định điều kiện để \( 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \). \[ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 2: Giải phương trình trên để tìm \( x \): \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \). Câu 4. Để giải phương trình $\tan(2x + 30^\circ) = \cot(3x - 40^\circ)$ trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $\tan(2x + 30^\circ)$ xác định khi $2x + 30^\circ \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. - $\cot(3x - 40^\circ)$ xác định khi $3x - 40^\circ \neq k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. 2. Chuyển đổi phương trình: - Ta biết rằng $\cot(\theta) = \tan(90^\circ - \theta)$. - Do đó, $\cot(3x - 40^\circ) = \tan(90^\circ - (3x - 40^\circ)) = \tan(130^\circ - 3x)$. - Phương trình trở thành $\tan(2x + 30^\circ) = \tan(130^\circ - 3x)$. 3. Giải phương trình lượng giác: - Nếu $\tan(A) = \tan(B)$ thì $A = B + k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. - Áp dụng vào phương trình: $2x + 30^\circ = 130^\circ - 3x + k \cdot 180^\circ$. - Gộp các hạng tử liên quan đến $x$: $5x = 100^\circ + k \cdot 180^\circ$. - Giải ra $x$: $x = 20^\circ + k \cdot 36^\circ$. 4. Xác định các nghiệm trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$: - Ta cần tìm các giá trị của $k$ sao cho $0^\circ < 20^\circ + k \cdot 36^\circ < 180^\circ$. - Xét các giá trị của $k$: - $k = 0$: $x = 20^\circ$. - $k = 1$: $x = 56^\circ$. - $k = 2$: $x = 92^\circ$. - $k = 3$: $x = 128^\circ$. - $k = 4$: $x = 164^\circ$. - $k = 5$: $x = 200^\circ$ (không thỏa mãn vì $x > 180^\circ$). 5. Kiểm tra điều kiện xác định: - Các giá trị $x = 20^\circ, 56^\circ, 92^\circ, 128^\circ, 164^\circ$ đều thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu. Vậy phương trình $\tan(2x + 30^\circ) = \cot(3x - 40^\circ)$ có 5 nghiệm trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 5. Để tìm số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số $(u_n)$, ta cần tìm giá trị của $n$ sao cho $u_n = \frac{8}{15}$. Ta có: \[ u_n = \frac{n+1}{2n+1} \] Bây giờ, ta đặt: \[ \frac{n+1}{2n+1} = \frac{8}{15} \] Tiếp theo, ta sẽ giải phương trình này để tìm $n$. Ta có: \[ \frac{n+1}{2n+1} = \frac{8}{15} \] Nhân cả hai vế với $(2n + 1)$ và $15$, ta được: \[ 15(n + 1) = 8(2n + 1) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 15n + 15 = 16n + 8 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến $n$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 15 - 8 = 16n - 15n \] \[ 7 = n \] Vậy, $n = 7$. Do đó, số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 6. Để viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng, ta làm như sau: 1. Gọi d là công sai của cấp số cộng này. 2. Ta có 5 số hạng trong cấp số cộng, bao gồm 2 số đầu và cuối là 2 và 22, và 3 số hạng xen giữa. 3. Công thức tính số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \( a_n = a_1 + (n-1)d \) 4. Áp dụng công thức trên cho số hạng thứ 5 (là 22): \[ 22 = 2 + (5-1)d \] \[ 22 = 2 + 4d \] \[ 20 = 4d \] \[ d = 5 \] 5. Bây giờ, ta tính các số hạng xen giữa: - Số hạng thứ 2: \( a_2 = 2 + 1 \times 5 = 7 \) - Số hạng thứ 3: \( a_3 = 2 + 2 \times 5 = 12 \) - Số hạng thứ 4: \( a_4 = 2 + 3 \times 5 = 17 \) Vậy ba số hạng xen giữa là 7, 12 và 17. Do đó, đáp án đúng là: D. 7;12;17. Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem chúng có đúng hay không. (I) $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương. - Đây là khẳng định đúng. Khi $n$ tiến đến vô cùng, $n^k$ cũng tiến đến vô cùng vì $k$ là số nguyên dương. (II) $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ nếu $|q| < 1$. - Đây là khẳng định sai. Nếu $|q| < 1$, thì $q^n$ sẽ tiến đến 0 khi $n$ tiến đến vô cùng, không phải là $+\infty$. (III) $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ nếu $q > 1$. - Đây là khẳng định đúng. Nếu $q > 1$, thì $q^n$ sẽ tiến đến $+\infty$ khi $n$ tiến đến vô cùng. Tóm lại, trong ba khẳng định trên, có hai khẳng định đúng là (I) và (III). Đáp án: C. 2. Câu 8. Để kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \) tại các điểm đã cho, ta cần kiểm tra các điều kiện liên tục của hàm số tại các điểm đó. Một hàm số \( f(x) \) được coi là liên tục tại điểm \( x = a \) nếu: 1. \( f(a) \) tồn tại. 2. Giới hạn \( \lim_{x \to a} f(x) \) tồn tại. 3. \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). Trước tiên, ta tìm các điểm mà hàm số không xác định. Hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \) không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] Vậy, \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Do đó, hàm số không xác định tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra tính liên tục của hàm số tại các điểm \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = \frac{1}{2} \): 1. Tại \( x = -1 \): - \( f(-1) = \frac{2(-1) - 1}{(-1)^2 - (-1)} = \frac{-2 - 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2} \) - \( \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{2(-1) - 1}{(-1)^2 - (-1)} = \frac{-3}{2} \) Vậy, \( \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) \), hàm số liên tục tại \( x = -1 \). 2. Tại \( x = 0 \): - \( f(0) \) không tồn tại vì mẫu số bằng 0. Vậy, hàm số không liên tục tại \( x = 0 \). 3. Tại \( x = 1 \): - \( f(1) \) không tồn tại vì mẫu số bằng 0. Vậy, hàm số không liên tục tại \( x = 1 \). 4. Tại \( x = \frac{1}{2} \): - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = \frac{0}{-\frac{1}{4}} = 0 \) - \( \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)} = 0 \) Vậy, \( \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) \), hàm số liên tục tại \( x = \frac{1}{2} \). Từ các kết luận trên, ta thấy rằng hàm số liên tục tại \( x = -1 \) và \( x = \frac{1}{2} \). Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án D là đúng. Đáp án: D. Hàm số liên tục tại \( x = \frac{1}{2} \). Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết về giao tuyến của hai mặt phẳng và tính chất của đường thẳng trong không gian. 1. Xác định các mặt phẳng liên quan: - Mặt phẳng $(ABD)$ bao gồm các điểm A, B, D. - Mặt phẳng $(BCD)$ bao gồm các điểm B, C, D. - Mặt phẳng $(CMN)$ bao gồm các điểm C, M, N. - Mặt phẳng $(ACD)$ bao gồm các điểm A, C, D. 2. Xét vị trí của điểm I: - Điểm I là giao điểm của đường thẳng MN và BD. - Vì MN nằm trong mặt phẳng $(AMD)$ (gồm các điểm A, M, D), nên điểm I cũng nằm trong mặt phẳng $(AMD)$. - Mặt phẳng $(AMD)$ chính là mặt phẳng $(ABD)$ vì M nằm trên AB và N nằm trên AD. 3. Kiểm tra các mặt phẳng: - Điểm I nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ vì MN và BD đều nằm trong mặt phẳng này. - Điểm I không thể nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ vì MN không cắt qua C. - Điểm I nằm trong mặt phẳng $(CMN)$ vì MN nằm trong mặt phẳng này và I là giao điểm của MN và BD. - Điểm I không thể nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ vì MN không cắt qua C. Do đó, điểm I không thuộc mặt phẳng $(BCD)$. Đáp án: B. $(BCD)$. Câu 10 Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. 1. Xác định trọng tâm J của tam giác ABC: - J là trọng tâm của tam giác ABC, do đó J nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC. 2. Xác định trọng tâm I của tam giác ABD: - I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó I nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BD. 3. Xét đoạn thẳng IJ: - Ta thấy rằng cả I và J đều nằm trên các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của hai tam giác ABC và ABD. - Do đó, đoạn thẳng IJ sẽ song song với đường thẳng nối trung điểm của cạnh BC và trung điểm của cạnh BD. 4. Xét đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh BC và trung điểm của cạnh BD: - Đoạn thẳng này song song với cạnh CD của tứ diện ABCD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng đoạn thẳng IJ song song với đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh BC và trung điểm của cạnh BD, và đoạn thẳng này lại song song với cạnh CD của tứ diện ABCD. Vậy, khẳng định đúng là: A. IJ song song với CD. Đáp án: A. IJ song song với CD.