giải hộ mình bài này với

Bài 5 Để tìm các giá trị \( x \) và \( y \) nguyên dương sao cho \( x^2 = y^2 + 12y + 13 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình \( x^2 = y^2 + 12y + 13 \). Bước 2: Ta nhận thấy rằng \( y^2 + 12y + 13 \) có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh. Ta thử biến đổi như sau: \[ y^2 + 12y + 13 = (y + 6)^2 - 36 + 13 = (y + 6)^2 - 23. \] Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[ x^2 = (y + 6)^2 - 23. \] Bước 4: Để \( x^2 \) là số chính phương, \( (y + 6)^2 - 23 \) cũng phải là số chính phương. Gọi \( k^2 \) là số chính phương này, ta có: \[ x^2 = k^2 \] \[ (y + 6)^2 - 23 = k^2. \] Bước 5: Điều này có nghĩa là: \[ (y + 6)^2 - k^2 = 23. \] Bước 6: Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có: \[ ((y + 6) - k)((y + 6) + k) = 23. \] Bước 7: Ta xét các trường hợp phân tích 23 thành tích của hai số nguyên: - \( 23 = 1 \times 23 \) - \( 23 = (-1) \times (-23) \) Bước 8: Xét từng trường hợp: 1. \( (y + 6) - k = 1 \) và \( (y + 6) + k = 23 \): \[ (y + 6) - k = 1 \] \[ (y + 6) + k = 23 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ 2(y + 6) = 24 \] \[ y + 6 = 12 \] \[ y = 6 \] Thay \( y = 6 \) vào \( (y + 6) - k = 1 \): \[ 12 - k = 1 \] \[ k = 11 \] Thay \( k = 11 \) vào \( x^2 = k^2 \): \[ x^2 = 11^2 \] \[ x = 11 \] 2. \( (y + 6) - k = -1 \) và \( (y + 6) + k = -23 \): \[ (y + 6) - k = -1 \] \[ (y + 6) + k = -23 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ 2(y + 6) = -24 \] \[ y + 6 = -12 \] \[ y = -18 \] (loại vì \( y \) phải là số nguyên dương) Vậy, các giá trị \( x \) và \( y \) nguyên dương thỏa mãn phương trình là: \[ x = 11, \quad y = 6. \] Đáp số: \( x = 11 \), \( y = 6 \).