Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi G là giao điểm của AC và DM. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AM. Các đường thẳng GE và CD cắt nhau tại F. a) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABD....

a.Ta có: $A B C D$ là hình bình hành $\Rightarrow A C \cap D B$ tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow A C$ là trung tuyến $\triangle A D B$
$M$ là trung điểm $A B$

$
D M \cap A C=G
$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\triangle A B D$
b.Ta có: $G$ là trọng tâm $\triangle A B D \Rightarrow \frac{G M}{G D}=\frac{1}{2}$

$
\begin{aligned}
& A B / / C D \\
& \Rightarrow \frac{G A}{G C}=\frac{G M}{G D}=\frac{1}{2} \\
& \Rightarrow G C=2 G A
\end{aligned}
$

c) Ta có  
$\begin{aligned} &  A B / / C D, A D / / B C \\ & \Rightarrow \frac{G E}{G F}=\frac{G A}{G C}=\frac{G I}{G K} \\ & \Rightarrow E I / / K F\end{aligned}$

d.Ta có:

$\frac{A E}{C F}=\frac{G A}{G C}=\frac{1}{2}=\frac{A N}{A D}=\frac{A N}{B C}$

$\widehat{N A E}=\widehat{B C F}$ vì $A B C D$ là hình bình hành

$\begin{aligned} & \Rightarrow \triangle A E N \sim \triangle C F B(c . g . c) \\ & \Rightarrow \frac{N E}{B F}=\frac{A E}{C F}=\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow B F=2 N E\end{aligned}$