Cứu mọi người ơi Câu 3 (1,5 điểm): Cho đa thức $f(x)=x^4-3x^2+2024.$ Tính giá trị của $f(x)$ biết $x^2-x=1$,Câu 4 (3,0 điểm),1) Tìm các cặp số nguyên (x;y), biết $x^2-y^2+3x-y=2$,2) Cho các số nguyên dương n, m thỏa mãn m là ước của $2n^2.$ Chứng minh: $n^2+m$,không là số chính phương,3) Cho các số nguyên dương x, y khác nhau thỏa mãn $2023x^2+x=2024y^2+y.$,Chứng minh: $2023x+2023y+1$ và $2024x+2024y+1$ là các số chính phương.,Câu 5 (7,0 điểm),Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên cạnh BC lấy,điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho $\widehat{MON}=45^0.$,a) Chứng minh: $\Delta BOM\backsim\Delta DNO,$ rồi suy ra tích BM.DN không đổi,b) Giả sử tia NM cắt tia DB tại Q. Chứng minh $NQ.OC=ND.QO$,c) Qua M vẽ đường thẳng d song song với AN. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố,định khi M di động trên cạnh BC, N di động trên cạnh DC nhưng luôn thỏa mãn,$\widehat{MON}=45^0.$,Câu 6 (1,0 điểm): Cho các số thực x, y thỏa mãn $4x^2-8x-2xy+2y+y^2=71.$,Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(x-1)^2+y^2$

Question

Accepted Answer

Câu 3 Để tính giá trị của đa thức $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2024$ khi biết $x^2 - x = 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng $x^2 - x = 1$. Ta sẽ sử dụng điều này để biến đổi các hạng tử của đa thức $f(x)$. Bước 2: Ta viết lại $x^4$ dưới dạng $(x^2)^2$: $$ f(x) = (x^2)^2 - 3x^2 + 2024 $$ Bước 3: Ta thay $x^2$ bằng $x + 1$ (vì $x^2 = x + 1$): $$ f(x) = (x + 1)^2 - 3(x + 1) + 2024 $$ Bước 4: Ta mở ngoặc và rút gọn: $$ f(x) = (x^2 + 2x + 1) - 3x - 3 + 2024 $$ $$ f(x) = x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 2024 $$ $$ f(x) = x^2 - x + 2022 $$ Bước 5: Ta thay $x^2 - x$ bằng 1: $$ f(x) = 1 + 2022 $$ $$ f(x) = 2023 $$ Vậy giá trị của đa thức $f(x)$ khi $x^2 - x = 1$ là 2023. Câu 4 1) Ta có: $x^2-y^2+3x-y=2$ $(x-y)(x+y)+(3x-y)=2$ $(x-y)(x+y+3)=2$ Ta có: $2=1\times 2=(-1)\times (-2)$ - Với $x-y=1$ và $x+y+3=2$ thì $x=-1$ và $y=-2$ - Với $x-y=-1$ và $x+y+3=-2$ thì $x=-3$ và $y=-2$ - Với $x-y=2$ và $x+y+3=1$ thì $x=0$ và $y=-2$ - Với $x-y=-2$ và $x+y+3=-1$ thì $x=-2$ và $y=0$ Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: $(-1;-2);(-3;-2);(0;-2);(-2;0)$ 2) Giả sử $n^2+m=a^2$ (a là số tự nhiên) $\Rightarrow m=a^2-n^2=(a-n)(a+n)$ Mà m là ước của $2n^2$ nên $(a-n)$ hoặc $(a+n)$ phải bằng 1 - Nếu $a-n=1$ thì $a=n+1$ $\Rightarrow m=(n+1+n)=(2n+1)$ $\Rightarrow 2n^2=(2n+1)\times k$ (k là số tự nhiên) $\Rightarrow n^2=(n+\frac{1}{2})\times k$ Vì $n^2$ là số tự nhiên nên $k=2p$ (p là số tự nhiên) $\Rightarrow n^2=(n+\frac{1}{2})\times 2p=(2n+p)$ $\Rightarrow n(n-p)=p$ Vì $n>0$ nên $n-p>0$ hoặc $n=p$ + Nếu $n-p>0$ thì $n>p$ $\Rightarrow n-p0$ nên $n=2$ Thay vào ta tìm được $m=5$ - Nếu $a+n=1$ thì $a=1-n$ $\Rightarrow m=(1-n-n)\times (1-n+n)$ $\Rightarrow m=1-2n$ Vì $m>0$ nên $1-2n>0$ $\Rightarrow n<\frac{1}{2}$ Mà n là số tự nhiên nên $n=0$ (Loại) Vậy $n=2;m=5$ 3) Ta có: $2023x^2+x=2024y^2+y$ $\Rightarrow 2023(x^2-y^2)+x-y=0$ $\Rightarrow (x-y)(2023x+2023y+1)=0$ $\Rightarrow x=y$ hoặc $2023x+2023y+1=0$ Mà x, y khác nhau nên $2023x+2023y+1=0$ (Loại) $\Rightarrow x=y$ $\Rightarrow 2023x+2023y+1=2\times 2023x+1$ $=2023\times 2x+1$ $=(2023x+1)^2$ $2024x+2024y+1=2\times 2024x+1$ $=2024\times 2x+1$ $=(2024x+1)^2$ Vậy $2023x+2023y+1$ và $2024x+2024y+1$ là các số chính phương. Câu 5 a) Ta có $\widehat{BOM}+\widehat{DOM}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà $\widehat{DOM}+\widehat{DON}=90^0$ nên $\widehat{BOM}=\widehat{DON}$ Ta có $\widehat{OBM}=\widehat{ODN}=45^0$ nên $\Delta BOM\backsim\Delta DNO(c-a-c)$ Từ đó ta có $\frac{BM}{ON}=\frac{OM}{DN}$ hay $BM.DN=OM.ON$ Mà $OM.ON=OA.OB=\frac{AB^2}{2}$ nên tích $BM.DN$ không đổi. b) Ta có $\widehat{QND}=\widehat{QOB}$ (hai góc so le trong) $\widehat{QDN}=\widehat{QBO}$ (hai góc đồng vị) Nên $\Delta QND\backsim\Delta QBO(c-a-c)$ Từ đó ta có $\frac{QN}{QB}=\frac{ND}{BO}$ hay $NQ.BO=ND.QO$ Mà $BO=OC$ nên $NQ.OC=ND.QO$ c) Gọi P là giao điểm của BD và AN. Ta có $\widehat{PAN}=\widehat{PBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN) Mà $\widehat{PBN}=\widehat{PMA}$ (hai góc so le trong) Nên $\widehat{PAN}=\widehat{PMA}$ nên A, M, P, N nằm trên cùng một đường tròn. Từ đó ta có $\widehat{APN}=\widehat{AMN}=45^0$ nên $\widehat{APB}=90^0$. Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm P cố định. Câu 6 Ta có: $4x^2-8x-2xy+2y+y^2=71$ $4(x^2-2x)-2xy+2y+y^2=71$ $4(x^2-2x+1)-4-2xy+2y+y^2=71$ $4(x-1)^2-2y(x-1)+y^2=75$ $4(x-1)^2-2y(x-1)+y^2+y-y=75$ $[4(x-1)^2-2y(x-1)+\frac{y^2}{4}]+\frac{3y^2}{4}-y=75$ $(2x-2-\frac{y}{2})^2+\frac{3(y-\frac{2}{3})^2}{4}-\frac{1}{3}=75$ $(2x-2-\frac{y}{2})^2+\frac{3(y-\frac{2}{3})^2}{4}=75+\frac{1}{3}$ $(2x-2-\frac{y}{2})^2+\frac{3(y-\frac{2}{3})^2}{4}=\frac{226}{3}$ Ta thấy $(2x-2-\frac{y}{2})^2 \geq 0$ và $\frac{3(y-\frac{2}{3})^2}{4} \geq 0$ nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi $(2x-2-\frac{y}{2})^2 = 0$ và $\frac{3(y-\frac{2}{3})^2}{4} = 0$. Do đó ta có: $2x-2-\frac{y}{2} = 0$ và $y-\frac{2}{3} = 0$ Giải hệ phương trình này ta được: $y = \frac{2}{3}$ và $x = \frac{7}{6}$ Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{226}{3}$, đạt được khi $x = \frac{7}{6}$ và $y = \frac{2}{3}$.